ГДЗ по учебникамГДЗ по фотоРешения

Номер 542

ГДЗ по алгебре 10–11 класс, Алимов 2023, страница 164

№ Доказательство тригонометрических тождеств

Доказать тождество:

  1. cos⁡4α−sin⁡4α+sin⁡2α=2cos⁡(2α−π4)\cos^4\alpha - \sin^4\alpha + \sin2\alpha = \sqrt2\cos\left(2\alpha - \frac{\pi}{4}\right);
  2. cos⁡α+cos⁡(2π3+α)+cos⁡(2π3−α)=0\cos\alpha + \cos\left(\frac{2\pi}{3} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{2\pi}{3} - \alpha\right) = 0;
  3. sin⁡2α+sin⁡5α−sin⁡3αcos⁡α+1−2sin⁡22α=2sin⁡α\dfrac{\sin2\alpha + \sin5\alpha - \sin3\alpha}{\cos\alpha + 1 - 2\sin^2 2\alpha} = 2\sin\alpha.
Решение

  1. Преобразуем левую часть по формуле разности квадратов:


    Левая часть равна . Преобразуем правую часть по формуле косинуса разности:

    Обе части равны.

  2. Сумму двух последних косинусов преобразуем по формуле суммы косинусов:


    Тогда левая часть: .

  3. Числитель: (формула разности синусов), . Числитель: .
    Знаменатель: (формула косинуса двойного угла для угла ), поэтому знаменатель равен .
    Дробь: (при ).

💡 Почему так

Используются формулы разности квадратов, двойного угла (), суммы и разности синусов и косинусов.

Ответ

Тождества доказаны.

Помогло?

Нет твоего задания?Сфоткай, и ДЗмэн решит за пару секунд.

Решить по фото
←Решить по фото→