Что такое уравнение и что значит решить уравнение
Уравнение — это равенство, в котором есть неизвестное число, обычно обозначенное буквой x, y, n или t. Например, x + 8 = 20. Число, при подстановке которого равенство становится верным, называется корнем уравнения. Здесь корень равен 12, потому что 12 + 8 = 20.
Когда в задании написано «решите уравнение» или «реши уравнение», нужно найти все корни и записать ответ. В 4–5 классах корень обычно один. В 6 классе встречаются уравнения с отрицательными числами, дробями и модулем.
Как решить уравнение: правила для каждого действия
Любое простое уравнение решается через связь между частями действия. Сначала определи, какая часть неизвестна, и по ней выбери правило:
- x + a = b, значит x = b − a (неизвестное слагаемое)
- x − a = b, значит x = b + a (неизвестное уменьшаемое)
- a − x = b, значит x = a − b (неизвестное вычитаемое)
- x × a = b, значит x = b ÷ a (неизвестный множитель)
- x ÷ a = b, значит x = b × a (неизвестное делимое)
- a ÷ x = b, значит x = a ÷ b (неизвестный делитель)
Примеры: x : 80 = 7, поэтому x = 7 × 80 = 560. В уравнении 114 : x = 6 неизвестен делитель, поэтому x = 114 : 6 = 19. Повторить связь между действиями можно в темах умножение и деление и сложение и вычитание.
Как решить составное уравнение по шагам
В составном уравнении неизвестное спрятано внутри нескольких действий. Его решают «с конца»: сначала находят значение скобки или целой части, потом добираются до x. Порядок действий здесь тот же, что в выражениях (порядок действий).
Пример. Решим (150 − 3 × x) : 5 = 12.
- Последнее действие — деление на 5. Скобка является делимым, поэтому 150 − 3 × x = 12 × 5 = 60.
- Теперь 3 × x — вычитаемое, поэтому 3 × x = 150 − 60 = 90.
- Неизвестен множитель: x = 90 : 3 = 30.
- Проверка. 3 × 30 = 90, 150 − 90 = 60, 60 : 5 = 12. Получилось 12, корень найден верно.
Уравнение со скобками (6 класс). Решим 4x + (x − 3) = 2x + 9. Перед скобкой стоит плюс, поэтому знаки внутри не меняются: 4x + x − 3 = 2x + 9, то есть 5x − 3 = 2x + 9. Переносим слагаемые через знак равенства и меняем их знаки: 5x − 2x = 9 + 3, откуда 3x = 12 и x = 4. Проверка: слева 16 + 1 = 17, справа 8 + 9 = 17.
Как составить уравнение по задаче
Многие задания в 5–6 классе даны словами. Алгоритм такой: обозначь буквой ту величину, которая меньше всего зависит от других, выразить через неё остальные величины и записать, что их сумма (или разность) равна данному числу. Больше о разборе условий в теме текстовые задачи.
Пример. У Пети в 2 раза больше марок, чем у Коли, а у Саши на 4 марки больше, чем у Коли. Всего 40 марок. Сколько марок у каждого?
- Пусть у Коли x марок. Тогда у Пети 2x, у Саши x + 4.
- Всего 40: x + 2x + (x + 4) = 40.
- Складываем: 4x + 4 = 40, значит 4x = 36 и x = 9.
- У Коли 9, у Пети 18, у Саши 13. Проверка: 9 + 18 + 13 = 40.
Сразу напиши в ответе, что обозначал буквой, и найди все величины, которые спрашивают в задаче. Одного x обычно мало.
Где ошибаются чаще всего
- Вычитаемое и делитель. В уравнении 12 − x = 5 ответ x = 12 − 5 = 7, а не 12 + 5. Так же с делением: в 114 : x = 6 надо делить 114 на 6, а не умножать.
- Знак при переносе. Слагаемое, которое переходит через знак равенства, меняет знак: из 5x − 3 = 2x + 9 получается 5x − 2x = 9 + 3. Знак «−» у тройки при переносе становится плюсом.
- Скобки со знаком минус. В выражении 10 − (x + 3) нужно поменять знак у каждого слагаемого в скобках: 10 − x − 3. Часто меняют знак только у первого.
- Пропущенная проверка. Подставь найденное число в исходное уравнение, а не в уже преобразованное. Так находятся и ошибки в вычислениях, и ошибки в правиле. Во многих заданиях проверка прямо требуется.
Если в уравнении десятичная дробь, например 0,1x = 3,9, правила те же: x = 3,9 : 0,1 = 39. Действия с такими числами разобраны в теме десятичные дроби.
Какие задания по теме присылают ученики
На странице собраны 227 заданий. Чаще всего это простые уравнения с проверкой и комментированием, составные уравнения со скобками, линейные уравнения с дробями и десятичными числами, а также задачи, где уравнение нужно составить самому: про конфеты в коробках, периметр треугольника, людей в цехах, урожай с участков. Для 6 класса есть уравнения с раскрытием скобок и модулем.
Найди в списке выше задание, похожее на твоё, и посмотри ход решения. Если похожего нет, сфотографируй своё задание и получи решение с подробным ходом.