Умножение и деление, 3–5 класс: примеры с решением

Умножение — это сложение одинаковых слагаемых: 4 × 3 = 4 + 4 + 4 = 12. Деление делает обратное: из произведения и одного множителя находит второй. Поэтому из одного равенства получаются сразу четыре:

• 4 × 3 = 12
• 3 × 4 = 12
• 12 : 3 = 4
• 12 : 4 = 3

Числа при умножении называются множителями, результат — произведением. При делении есть делимое, делитель и частное: в записи 12 : 3 = 4 делимое 12, делитель 3, частное 4.

Деление бывает двух видов. Если 32 игрушки раздали поровну в 4 группы, ищем, сколько в каждой: 32 : 4 = 8. Если 20 учеников разбили на группы по 5 человек, ищем, сколько получилось групп: 20 : 5 = 4. Действие одно, но вопрос разный, и это нужно различать в текстовых задачах.

Если числа не делятся нацело, появляется остаток. Он всегда меньше делителя и связан с остальными числами равенством: делимое = делитель × неполное частное + остаток. Например, 82 : 8: неполное частное 10, остаток 2, и действительно 82 = 8 × 10 + 2.

Таблицу умножения и деления учат один раз, а пользуются ею до конца школы. Она нужна и в 3 классе, и в 5, когда считаешь столбиком или работаешь с дробями.

Что помогает запоминать:

• Переместительное свойство. 7 × 3 и 3 × 7 дают одно и то же, поэтому вместо 100 равенств достаточно выучить примерно половину.
• Умножение на 4 — это два раза по два. 4 × 7: сначала 7 + 7 = 14, потом 14 + 14 = 28.
• Деление проверяется умножением. Не помнишь 28 : 4 — вспомни, какое число умножить на 4, чтобы получить 28.
• Умножение и деление на 3 и на 4 учи парами. 3 × 8 = 24, значит 24 : 3 = 8 и 24 : 8 = 3. Рядом 4 × 8 = 32 и 32 : 4 = 8.

Хорошо работают карточки: на одной стороне пример, на другой ответ. Перемешивай их и откладывай те, где ответ пришёл сразу. Остальные повторяй, пока их не станет совсем мало. Онлайн-тренажёр делает то же самое, но главное — чтобы ответ вспоминался за пару секунд, без счёта в уме по одному.

Разберём деление многозначного числа на однозначное: 4 536 : 6.

1. Первая цифра 4 меньше 6, поэтому берём первое неполное делимое 45.
2. 45 : 6 = 7 (7 × 6 = 42). Пишем 7 в частное, под 45 пишем 42, остаток 3.
3. Сносим следующую цифру 3, получаем 33. 33 : 6 = 5 (5 × 6 = 30), остаток 3.
4. Сносим последнюю цифру 6, получаем 36. 36 : 6 = 6, остаток 0.

Ответ: 756. Проверка: 756 × 6 = 4 536, число совпало с делимым, значит деление верное. Так же проверяют деление и с остатком: частное × делитель + остаток должно дать делимое.

Теперь умножение с нулями на конце: 2 090 × 700. Нули пока не трогаем и умножаем 209 × 7 = 1 463. Потом приписываем все нули справа: один из 2 090 и два из 700. Получается 1 463 000.

Для деления на двузначные и трёхзначные числа порядок тот же, только частное цифры приходится подбирать. Например, в 86 640 : 461 сначала берём 866 (в 866 число 461 помещается один раз), а следующие цифры находим так же, подбирая и проверяя умножением. Порядок записи подробно описан на странице про порядок действий, когда в одном выражении смешаны сложение, вычитание, умножение и деление.

С 5 класса умножение и деление переходят на дроби. Правила короткие.

Умножение дробей: числитель умножаем на числитель, знаменатель на знаменатель. ½ × ⅔ = 2/6 = ⅓.

Деление дробей: первую дробь умножаем на перевёрнутую вторую. ½ : ¼ = ½ × 4/1 = 4/2 = 2.

Умножение и деление десятичных дробей начинают как с натуральными числами, а запятую ставят в конце. При умножении в ответе после запятой столько цифр, сколько их было у обоих множителей вместе: 1,2 × 0,3 = 0,36. Остальные правила разобраны на страницах про действия с дробями и десятичные дроби.

• Пропускают нуль в частном. В 3 018 : 3 после первой цифры 1 стоит 0 десятков: 3 : 3 = 1, затем 0 : 3 = 0, потом 18 : 3 = 6. Ответ 1 006, а не 16. Проверка умножением сразу покажет ошибку: 3 × 16 = 48, а не 3 018.
• Остаток получается не меньше делителя. Если при делении на 8 остаток 9, значит, в делимое число 8 поместилось ещё раз. Увеличь цифру частного.
• Путают порядок действий. В 8 + 4 × 2 сначала умножение: 4 × 2 = 8, потом 8 + 8 = 16, а не 24. Скобки меняют порядок, и тогда (8 + 4) × 2 = 24.
• Делят на ноль. Выражение (567 + 567) : 0 не имеет значения: на ноль делить нельзя. А вот 0 : 5 = 0 считать можно.
• Теряют нули при умножении. В 80 600 × 90 нужно приписать три нуля: 806 × 9 = 7 254, а ответ 7 254 000. Если число нулей не пересчитать, ответ окажется в десятки раз меньше.

На странице собраны задания 3–5 классов. Это таблица умножения и деления на конкретные числа, примеры в столбик с многозначными числами, деление с остатком, значения выражений с буквой (например, 16 : d при d = 2) и текстовые задачи про цену, скорость и количество. Встречаются и задачи вида «найди делимое, если известны делитель, неполное частное и остаток».

Найди в списке выше задание, похожее на твоё: у каждого есть полный ход решения. Если точно такого нет, сфотографируй своё, и к нему придёт решение с объяснением. Уравнения, где неизвестен один из множителей, разобраны отдельно в теме про уравнения.