Действия с обыкновенными дробями: четыре правила
Действия с дробями изучают в 5–6 классе, а потом они нужны в уравнениях, задачах и алгебре. У каждого действия свой алгоритм, и путают их чаще всего.
Сложение и вычитание. Если знаменатели одинаковые, действуют с числителями, а знаменатель оставляют: 3/8 + 1/8 = 4/8 = ½. Если знаменатели разные, сначала приводят дроби к общему знаменателю. Удобно брать наименьшее общее кратное (о нём подробнее в теме делимость чисел). Например, 1/6 + 3/8: НОК(6, 8) = 24, получаем 4/24 + 9/24 = 13/24.
Умножение. Числитель умножают на числитель, знаменатель на знаменатель: 2/3 × 5/7 = 10/21. Перед умножением полезно сократить: в 4/9 × 3/8 числа 4 и 8 делятся на 4, а 3 и 9 на 3, остаётся 1/(3 × 2) = 1/6.
Деление. Вторую дробь переворачивают и заменяют деление умножением: 3/4 : 9/10 = 3/4 × 10/9 = 30/36 = 5/6.
Подробнее о самих дробях и их свойствах написано в теме обыкновенные дроби.
Смешанные числа и десятичные дроби
Смешанные числа. При сложении и вычитании можно отдельно работать с целыми и дробными частями. При умножении и делении смешанные числа сначала переводят в неправильные дроби: 1 1/2 × 2 2/3 = 3/2 × 8/3 = 4.
Вычитание со смешанными числами требует аккуратности. Возьмём 3 1/6 − 1 3/4. Общий знаменатель 12, значит 3 2/12 − 1 9/12. Из 2/12 нельзя вычесть 9/12, поэтому занимаем единицу: 2 14/12 − 1 9/12 = 1 5/12.
Десятичные дроби. Правила похожи на действия с натуральными числами, но есть нюансы:
- при сложении и вычитании запятую пишут под запятой: 5,48 + 3,52 = 9;
- при умножении сначала считают как с целыми, потом отделяют запятой столько знаков, сколько их было в обоих множителях вместе: 0,3 × 0,24 = 0,072;
- при делении на десятичную дробь запятую переносят вправо в делимом и делителе на одинаковое число знаков: 4,2 : 0,6 = 42 : 6 = 7.
Если в одном выражении есть и обыкновенные, и десятичные дроби, приведи всё к одному виду. Обычно проще перевести десятичные в обыкновенные: 0,25 = ¼, 0,5 = ½. Отдельно эта тема разобрана в разделе десятичные дроби.
Разбор: дроби с 3 действиями по шагам
Вычислим: ½ + 5/12 − 2/9 × 3/8. Ответ нужно записать несократимой дробью.
- Определяем порядок. Сначала умножение, потом сложение и вычитание слева направо. Правила собраны в теме порядок действий.
- Умножаем: 2/9 × 3/8. Сокращаем 2 и 8 на 2, 3 и 9 на 3. Получаем 1/(3 × 4) = 1/12.
- Выражение стало таким: ½ + 5/12 − 1/12. Складываем первые две дроби. Общий знаменатель 12: 6/12 + 5/12 = 11/12.
- Вычитаем: 11/12 − 1/12 = 10/12.
- Сокращаем на 2: 10/12 = 5/6.
Ответ: 5/6. Проверка: ответ меньше единицы, и это похоже на правду, ведь ½ + 5/12 = 11/12, а вычли совсем немного.
Где ошибаются чаще всего
- Складывают знаменатели. Пишут 1/3 + 1/3 = 2/6. Знаменатель при одинаковых дробях не меняется, правильно 2/3.
- Переворачивают не ту дробь при делении. Переворачивают только делитель, то есть вторую дробь. В 2/5 : 3/4 получается 2/5 × 4/3 = 8/15, а не 5/2 × 3/4.
- Забывают занять единицу при вычитании смешанных чисел, когда дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого. Делай как в примере выше: 3 2/12 превращай в 2 14/12.
- Не сокращают ответ. Если в условии просят несократимую дробь, 10/12 засчитают как ошибку. Проверь, нет ли общего делителя у числителя и знаменателя.
- Нарушают порядок действий, считая слева направо там, где сначала надо умножить или выполнить скобки.
Какие задания присылают ученики
На странице 250 решённых заданий, в основном из 6 класса. Это примеры на сложение и вычитание дробей и смешанных чисел, выражения со скобками и в несколько действий, дроби со степенью, рациональные способы вычисления, сравнение выражений без вычислений и текстовые задачи, где ответ получается дробью.
Найди в списке выше пример, похожий на твой, и сверь ход решения со своим. Если подходящего нет, сфотографируй своё задание и получи решение с подробным ходом.