Что такое множество и как его записать
Множество — любая совокупность объектов: цифры числа, имена девочек в классе, делители числа 28. Сами объекты называются элементами множества. Множества обозначают заглавными буквами, а элементы записывают в фигурных скобках через точку с запятой: A = {1; 2; 3}.
У записи три правила:
- порядок элементов не важен: {1; 2; 3} и {3; 1; 2} — одно и то же множество;
- одинаковые элементы не повторяют: если в числе 55 680 цифра 5 встречается два раза, в множестве цифр она записана один раз;
- равные числа считаются одним элементом: 0,3 и 0,30 — одно число, а ¼ и 0,25 тоже.
Чтобы показать, что элемент входит в множество, пишут 7 ∈ B, а если не входит — 7 ∉ B. Множество без элементов называют пустым и обозначают ∅.
Задать множество можно двумя способами: перечислить элементы или описать их словами. Например, «запишите множество двузначных чисел, которые делятся на 10» значит записать C = {10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90}. Для множества натуральных чисел (1, 2, 3, 4 и так далее) полный список написать нельзя, поэтому его задают описанием. Подробнее о таких числах — в теме нумерация чисел.
Подмножество, пересечение и объединение множеств
Подмножество — часть множества. Если каждый элемент множества A есть и в множестве B, пишут A ⊂ B. Например, {1; 3} — подмножество множества {1; 2; 3}. Пустое множество считается подмножеством любого множества.
Подмножество часто составляют по признаку. В множестве {0,5; 2; ¼; 7; 0} подмножество натуральных чисел — это {2; 7}, подмножество целых чисел — {0; 2; 7}, а подмножество обыкновенных дробей — {¼}. Про дроби читай в теме обыкновенные дроби.
С двумя множествами A и B делают две главные операции:
- Пересечение A ∩ B — элементы, которые есть и в A, и в B одновременно. Это общая часть двух кругов на диаграмме.
- Объединение A ∪ B — все элементы, которые есть хотя бы в одном из множеств. Общие элементы записывают один раз.
Если A ⊂ B, то A ∪ B = B, а A ∩ B = A. Это легко увидеть на диаграмме Эйлера — Венна: один круг лежит внутри другого.
Как найти пересечение и объединение множеств: разбор задания
Задание. Даны множества: A — все делители числа 20, B — все делители числа 30. Найди A ∩ B и A ∪ B.
Шаг 1. Запиши каждое множество перечислением. Делители ищи парами: 1 и 20, 2 и 10, 4 и 5. Получится A = {1; 2; 4; 5; 10; 20}. Для 30 пары такие: 1 и 30, 2 и 15, 3 и 10, 5 и 6. Значит, B = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}. Если с делителями не получается, загляни в тему делимость чисел.
Шаг 2. Для пересечения иди по элементам A и проверяй, есть ли они в B. Есть 1, 2, 5 и 10, а 4 и 20 в B нет. Ответ: A ∩ B = {1; 2; 5; 10}.
Шаг 3. Для объединения выпиши всё из A, затем добавь из B то, чего там ещё нет: 3, 6, 15, 30. Ответ: A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 15; 20; 30}.
Шаг 4. Проверь счётом. В A шесть элементов, в B восемь, в пересечении четыре. Должно получиться 6 + 8 − 4 = 10 элементов в объединении, и их действительно десять.
Задачи на круги Эйлера: сколько элементов в обеих группах
В текстовых задачах про кружки, олимпиады и поездки множества называют словами, а вопрос звучит как «сколько было и там, и там». Решать их помогает формула для двух множеств:
число элементов в A ∪ B = число в A + число в B − число в A ∩ B
Слагаемые нужно уменьшить на пересечение, потому что ученики из пересечения посчитаны дважды.
Пример. В классе 25 человек. 15 поехали в музей, 17 — в театр, и каждый поехал хотя бы куда-то одно. Сколько человек были и в музее, и в театре?
Все 25 человек входят в объединение. Подставляем: 25 = 15 + 17 − x, то есть x = 32 − 25 = 7. Проверка: только в музее 15 − 7 = 8 человек, только в театре 17 − 7 = 10, в обоих местах 7, всего 8 + 10 + 7 = 25.
Встречается и вопрос про наименьшее возможное число. В классе 30 человек, 14 девочек, у 20 человек светлые волосы. Меньше всего светловолосых девочек будет тогда, когда в классе нет никого, кроме девочек и светловолосых, то есть объединение равно 30. Получаем 14 + 20 − 30 = 4.
Если множеств три, рисуй три пересекающихся круга и заполняй их с середины: сначала то, что входит во все три, потом попарные пересечения без середины, потом остальное. Другие задачи такого вида собраны в темах текстовые задачи и логические и комбинаторные задачи.
Где ошибаются чаще всего
- Складывают числа и не вычитают пересечение. В задаче про 18 и 12 человек нельзя просто сложить и получить 30, если в классе всего 28: часть ребят посчитана дважды. Сначала найди, сколько человек в объединении, потом вычти.
- Путают ∩ и ∪. Пересечение — только общее, поэтому оно всегда не больше каждого из множеств. Объединение — всё вместе.
- Путают ∈ и ⊂. Элемент принадлежит множеству: 7 ∈ B. Подмножество — это множество, записанное в скобках: {7} ⊂ B. Знаки ставят в зависимости от того, что стоит слева.
- Не замечают равные числа в разной записи. В B = {0,25; 7; 0,3} утверждение «1/4 ∉ B» неверно, потому что 1/4 = 0,25. А утверждение «0,30 ∈ B» верно, потому что 0,30 = 0,3.
- Записывают элемент дважды. В множестве цифр числа 30 608 стоит {0; 3; 6; 8}, нуль один раз, хотя в числе он встречается дважды.
Какие задания по множествам присылают ученики
Чаще всего в пятом классе присылают три вида заданий: записать множество перечислением (простые числа, двузначные числа с условием, делители), найти пересечение и объединение двух множеств и решить текстовую задачу на круги Эйлера. Реже встречаются подмножества, знаки ∈ и ∉ и задачи на три множества.
Найди в списке выше задание, похожее на твоё, и сравни ход решения со своим. Если подходящего нет, сфотографируй условие, и получишь решение по шагам. Для заданий с числами полезно вспомнить умножение и деление: оно нужно, чтобы искать числа, кратные заданному.