Что такое логические и комбинаторные задачи
В комбинаторных задачах нужно составить или посчитать варианты: сколько чисел получится из данных цифр, сколькими путями можно дойти из одной деревни в другую, сколько получится шифров. В логических задачах ответ получается из рассуждений: кто что сказал, где что лежит, какое число следующее в ряду.
Такие задания встречаются в комбинаторных и логических задачах 1, 2 и 3 класса и в олимпиадных заданиях до 5 класса. Считать приходится мало, зато нужно внимательно читать условие и ничего не пропускать.
Чаще всего попадаются:
- числа из заданных цифр («составь все двузначные числа из цифр 3, 5, 8»);
- подсчёт путей по схеме;
- числовые ряды и таблицы с закономерностью;
- задачи на спички и палочки;
- задачи про пары, конфеты, сундуки и надписи, где нужно рассуждать.
Как решать комбинаторные задачи: перебор и правило умножения
Если вариантов мало, выпиши их все, но по порядку. Например, числа сначала с первой цифрой 3, потом с первой цифрой 5 и так далее. Тогда ничего не потеряется и не повторится.
Если вариантов много, используй правило умножения: сколько способов выбрать первый элемент, столько на каждый из них способов выбрать второй, и так далее. Числа перемножаются. Это связано с умножением и делением: умножение заменяет длинное сложение одинаковых слагаемых.
Пример. В шифре одна буква из 10 возможных и три цифры от 0 до 9. Вариантов: 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000.
Главное в правиле умножения: проверить, повторяться ли могут элементы. Если цифры не должны повторяться, на каждом следующем шаге вариантов на один меньше.
Разбор: трёхзначные числа из цифр 0, 4, 7, 9
Условие. Из цифр 0, 4, 7, 9 составили трёхзначные числа, цифры в записи которых не повторяются. Сколько таких чисел получилось?
Шаг 1. Выбираем первую цифру. Число не может начинаться с 0, поэтому подходят 4, 7 и 9. Это 3 варианта.
Шаг 2. Выбираем вторую цифру. Из четырёх цифр одна уже занята, остаются три, и среди них может быть 0. Это 3 варианта.
Шаг 3. Третья цифра: две уже использованы, остаются 2 варианта.
Шаг 4. Перемножаем: 3 × 3 × 2 = 18.
Ответ: 18 чисел.
Проверить себя можно перебором. Для первой цифры 4 получаются 470, 479, 407, 409, 497, 490. Это 6 чисел, а для 7 и 9 столько же, всего 18.
Теперь логическая задача. В классе 24 человека, из них 13 девочек, а у 15 человек светлые волосы. Какое наименьшее число девочек может быть светловолосым? Не светлые волосы у 24 − 15 = 9 человек. Чтобы светловолосых девочек было как можно меньше, пусть все эти 9 человек будут девочками. Тогда светловолосых девочек 13 − 9 = 4. Ответ: 4.
Как решать задачи на закономерность и рассуждение
В числовом ряду сначала посмотри на разности соседних чисел, потом на произведения и суммы. В ряду 5, 10, 8, 13, 11, * числа по очереди растут на 5 и уменьшаются на 2: 5 → 10 (+5), 10 → 8 (−2), 8 → 13 (+5), 13 → 11 (−2). Следующий шаг +5, значит на месте звёздочки 16.
Правило может быть и таким: каждое число равно сумме двух предыдущих. Если первые два числа 2 и 3, ряд будет 2, 3, 5, 8, 13.
В задачах на рассуждение помогают три приёма:
- нарисовать схему или таблицу, а не держать всё в голове;
- рассмотреть крайний случай: что, если все неизвестные окажутся такими-то;
- проверить найденный ответ по каждому пункту условия.
Когда в задаче несколько групп, например мальчики и девочки со светлыми волосами, полезны множества и круги Эйлера. В заданиях с четырьмя четвёрками и скобками нужно хорошо знать порядок действий.
Где ошибаются чаще всего
- Забывают, что число не начинается с нуля. Из цифр 0, 4, 7, 9 нельзя составить «047». Первой цифрой берут только ненулевые.
- Считают повторяющиеся варианты. Числа 47 и 74 разные, а вот набор «Маша и Даша» и «Даша и Маша» для пары один и тот же. Перед счётом реши, важен ли порядок.
- Складывают вместо умножения. При трёх выборах из 4, 8 и 5 предметов получается 4 × 8 × 5 = 160 троек, а не 17.
- Не проверяют ответ. В задаче про 25 мальчиков и 33 девочек в парах, где 12 пар «девочка-девочка», в них 24 девочки. Остальные 9 девочек стоят с мальчиками. Значит, мальчиков без пары с девочками 25 − 9 = 16, и это 8 пар «мальчик-мальчик». Если ответ не сходится с общим числом детей, где-то есть ошибка.
Какие задания присылают ученики и как пользоваться страницей
На сайте 95 заданий по теме от 2 до 5 класса. Это числа из цифр, правило умножения для шифров и номеров, подсчёт путей по схеме, числовые ряды, спички, закраска клеток, обход фигуры без повторения линий, задачи про конфеты и сундуки.
Найди похожее задание в списке над текстом и посмотри ход решения: важно понять, почему сделан каждый шаг. Если своего задания нет, сфотографируй его и получишь решение с пояснениями. Для задач, где всё записывается словами, пригодится тема текстовые задачи.