Прямоугольный параллелепипед, 5 класс: примеры с решением

Прямоугольный параллелепипед — объёмная фигура, у которой шесть граней, и каждая из них прямоугольник. Так выглядят спичечный коробок, кирпич, шкаф, бассейн и обычная комната.

У фигуры 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. Три размера задают её полностью: длина, ширина и высота. Их называют измерениями.

Ответы на вопрос «чему равны рёбра прямоугольного параллелепипеда» такие:

• 12 рёбер делятся на три группы по 4 ребра;
• в каждой группе рёбра параллельны и равны между собой, одна группа задаёт длину, другая ширину, третья высоту;
• противоположные грани равны, поэтому граней-пар тоже три.

Если все три измерения одинаковы, получается куб. Это частный случай прямоугольного параллелепипеда. Подробнее о других фигурах есть на странице про геометрические фигуры.

Объём показывает, сколько места занимает фигура или сколько в неё поместится воды или песка. Чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, перемножь три измерения:

V = a × b × c

Здесь a — длина, b — ширина, c — высота. Можно считать иначе: площадь основания a × b умножить на высоту c. Результат получается тот же.

Объём измеряют в кубических единицах: см³, дм³, м³. Это объём кубика со стороной 1 см, 1 дм или 1 м.

Высоту, длину или ширину по известному объёму находят делением. Если V = 120 см³, длина 6 см, ширина 5 см, то высота равна 120 ÷ (6 × 5) = 4 см.

Объём связан с литрами: 1 дм³ = 1 л, а 1 м³ = 1000 л. Поэтому 1000 см³ тоже равны 1 л. Как переходить между единицами, подробно объясняет страница про единицы измерения.

Площадь поверхности — это сумма площадей всех шести граней. Она нужна, когда фигуру красят, оклеивают или обтягивают бумагой.

Грани идут парами, поэтому формула такая:

S = 2 × (a × b + b × c + a × c)

В скобках площади трёх разных граней: нижней, передней и боковой. Умножение на 2 учитывает противоположные грани.

Пример: брусок 4 дм × 3 дм × 2 дм. Площади граней: 4 × 3 = 12, 3 × 2 = 6, 4 × 2 = 8. Сумма 12 + 6 + 8 = 26, удвоенная даёт S = 52 дм².

Не путай площадь поверхности с суммой длин рёбер. Для неё формула другая: 4 × (a + b + c). Про площадь плоских фигур можно вспомнить на странице периметр и площадь.

Условие. Длина аквариума 30 см, ширина 50 см, высота 40 см. В одно ведро вмещается 10 л. Сколько вёдер нужно, чтобы заполнить аквариум?

Шаг 1. Находим объём в кубических сантиметрах. V = 30 × 50 × 40. Сначала 30 × 50 = 1500, затем 1500 × 40 = 60 000 см³.

Шаг 2. Переводим в литры. В 1 л помещается 1000 см³, поэтому 60 000 ÷ 1000 = 60 л.

Шаг 3. Считаем вёдра. 60 ÷ 10 = 6 вёдер.

Ответ: 6 вёдер.

Можно было сразу перевести размеры в дециметры: 3 дм × 5 дм × 4 дм = 60 дм³ = 60 л. Результат тот же, а числа меньше.

• Разные единицы в одной формуле. Если высота дана в дециметрах, а стороны основания в сантиметрах, сначала приведи всё к одной единице. Коробка с основанием 8 см × 8 см и высотой 1 дм имеет высоту 10 см, и V = 8 × 8 × 10 = 640 см³.
• Увеличение размеров вдвое и объём. Если длину, ширину и высоту увеличить в 2 раза, объём вырастет не в 2, а в 2 × 2 × 2 = 8 раз. Аквариум на 50 л станет вмещать 400 л.
• Путаница между объёмом и площадью поверхности. Воду в аквариум наливают по объёму, а краску на брусок считают по площади поверхности. В ответе объём пишут в см³, дм³ или м³, а площадь в см², дм² или м².
• Проценты и «в несколько раз» в условии. Если высота составляет 120 % длины 60 см, то она равна 60 × 1,2 = 72 см. Сначала найди каждое измерение отдельно, потом перемножай. Тема процентов разобрана на странице проценты.

Чаще всего приходят задачи на объём: бассейн с размерами в метрах, аквариум с ответом в литрах, коробка с разными единицами. Есть задачи, где измерения даны через проценты или «в 1,5 раза больше». Реже попадаются площадь поверхности и расход краски, формулы с буквами a, b, c и задание подобрать измерения по известному объёму.

Выше на странице есть список заданий с полным ходом решения. Найди похожее по условию и сверь свои шаги. Если такого нет, сфотографируй своё задание и получишь решение с пояснениями.