Чем окружность отличается от круга
Окружность — это линия. Все её точки находятся на одном расстоянии от одной точки, которая называется центром. Если взять циркуль и провести кривую, получится окружность.
Круг — это окружность вместе со всем, что внутри неё. Окружность можно измерить длиной, как верёвку. Круг можно закрасить, поэтому у него есть площадь.
Это различие важно для вычислений. Длина относится к окружности, площадь относится к кругу. Поэтому запрос «площадь окружности и круга» на деле значит «площадь круга». У линии площади нет, у неё есть только длина.
Круг называют ограниченным окружностью, а окружность называют границей круга. Если в задании сказано «радиус окружности, ограничивающей круг», это тот же радиус, что и у самого круга.
Центр, радиус, диаметр: части круга и окружности
У окружности и круга общие основные элементы:
- центр — точка внутри, от которой все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии;
- радиус (r) — отрезок от центра до любой точки окружности;
- диаметр (d) — отрезок между двумя точками окружности, который проходит через центр;
- хорда — любой отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр — самая длинная из хорд;
- дуга — часть окружности между двумя её точками.
Диаметр всегда вдвое больше радиуса: d = 2r, а r = d ÷ 2. Все радиусы одной окружности равны между собой, все диаметры тоже.
Хорда делит круг на две части. Часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, называется сектором. Кусок пиццы хорошо показывает, как выглядит сектор.
Формулы: длина окружности и площадь круга
Обе величины связаны с числом π. Это отношение длины окружности к её диаметру, оно одинаково для всех окружностей. Приближённо π ≈ 3,14.
- Длина окружности: C = 2πr или C = πd.
- Площадь круга: S = πr².
Запись r² означает r × r, а не r × 2. Для радиуса 5 см получится 5 × 5 = 25.
Единицы тоже разные. Длина окружности измеряется в сантиметрах, метрах, то есть в обычных единицах длины. Площадь круга измеряется в квадратных: см², м². Если в ответе про площадь стоят просто «см», значит, где-то допущена ошибка. Подробнее про такие записи есть в теме единицы измерения, а про площади других фигур в теме периметр и площадь.
В заданиях часто просят взять π равным 3,14. Тогда приходится умножать на десятичную дробь. Если с этим трудно, повтори десятичные дроби.
Как найти радиус окружности по её длине: разбор
Задание. Длина окружности равна 42π см. Найди радиус.
- Запиши формулу: C = 2πr.
- Подставь длину: 2πr = 42π.
- Раздели обе части на 2π. Число π сокращается: r = 42π ÷ 2π = 42 ÷ 2 = 21.
- Запиши ответ с единицей: r = 21 см.
Здесь число π менять на 3,14 не нужно. Оно уже стоит в условии и просто сокращается. Это самый быстрый путь, а решение по сути является уравнением с неизвестным r.
Если длина дана числом без π, например 188,4 см, радиус считается так: r = C ÷ (2 × 3,14) = 188,4 ÷ 6,28 = 30 см.
Ещё два типа задач с другими числами.
Найти длину окружности при r = 30 см: C = 2 × 3,14 × 30 = 6,28 × 30 = 188,4 см.
Найти площадь круга при r = 20 см: S = 3,14 × 20 × 20 = 3,14 × 400 = 1256 см².
Где ошибаются чаще всего
Путают радиус и диаметр. Если в условии дан диаметр, а формула S = πr² требует радиус, сначала раздели диаметр на 2. Диаметр 10 см означает радиус 5 см.
Умножают r на 2 вместо возведения в квадрат. Для r = 11 нужно 11 × 11 = 121, а не 22. Тогда S = 3,14 × 121 = 379,94 см².
Путают длину и площадь. Длина окружности считается по 2πr, площадь круга по πr². Перед решением проверь, что спрашивают: «длину окружности» или «площадь круга».
Теряют единицы или пишут площадь в см. Длину записывай в см, площадь в см². Это часто проверяют при оценке.
Подставляют 3,14, когда в условии стоит π. Если длина дана как 35π, считать с 3,14 не нужно, достаточно разделить 35 на 2.
Какие задания по теме присылают и как пользоваться страницей
Ученики 6 класса присылают в основном четыре типа заданий: найти радиус по длине окружности, заданной в виде числа с π, найти длину окружности по радиусу и найти площадь круга по радиусу с округлением π до 3,14.
Посмотри список заданий над этим текстом и найди похожее по условию. Там записан полный ход решения, и можно сверить свои шаги. Если задания с твоими числами нет, сфотографируй своё, и сайт пришлёт решение с ходом. Другие темы курса собраны на странице геометрические фигуры.