Задачи на движение: три величины и одна формула
В задаче на движение всегда есть три величины: путь (s), скорость (v) и время (t). Две из них известны, третью нужно найти.
- путь: s = v × t
- скорость: v = s ÷ t
- время: t = s ÷ v
Скорость показывает, сколько проехали или прошли за единицу времени. Запись 60 км/ч значит «60 километров за каждый час». Если автомобиль едет 3 часа с такой скоростью, он проедет 60 × 3 = 180 км.
Перед решением проверь единицы измерения. Если скорость в км/ч, то время должно быть в часах, а путь получится в километрах. Минуты сначала переводят в часы, а метры в километры. Такие задачи входят в большую группу текстовых задач, и порядок работы у них общий: прочитать, выписать данные, выбрать действие, проверить ответ.
Решение задач на движение: навстречу, вдогонку, в противоположные стороны
Если двигаются два объекта, нужно понять, как меняется расстояние между ними. Для этого есть скорость сближения и скорость удаления.
- Навстречу друг другу. Расстояние сокращается на v₁ + v₂ за каждый час. Скорости складывают.
- В противоположных направлениях. Расстояние растёт на v₁ + v₂ за каждый час. Скорости тоже складывают.
- Вдогонку, в одну сторону. Расстояние меняется на разность скоростей: быстрый сокращает его, а если он впереди, увеличивает. Скорости вычитают.
Например, автобус едет 50 км/ч, автомобиль 80 км/ч, и они отъехали от вокзала в разные стороны. Скорость удаления 50 + 80 = 130 км/ч. Через 3 часа между ними будет 130 × 3 = 390 км.
Если те же машины едут в одну сторону, скорость удаления 80 − 50 = 30 км/ч, и через 3 часа между ними 90 км.
Схематичный рисунок помогает: нарисуй отрезок, стрелки движения и отметь встречу или догон.
Разбор задачи на встречное движение по шагам
Задача. Из двух сёл, расстояние между которыми 84 км, одновременно навстречу друг другу вышли пешеход и велосипедист. Скорость велосипедиста на 8 км/ч больше. Они встретились через 3 ч. Найди скорость каждого.
Шаг 1. Найди скорость сближения: расстояние делим на время до встречи. 84 ÷ 3 = 28 км/ч. Это сумма скоростей обоих.
Шаг 2. Пусть скорость пешехода x км/ч, тогда скорость велосипедиста x + 8 км/ч. Вместе они сближаются на 28 км/ч:
x + (x + 8) = 28
2x + 8 = 28
2x = 20
x = 10
Шаг 3. Скорость пешехода 10 км/ч, велосипедиста 10 + 8 = 18 км/ч.
Шаг 4. Проверка: (10 + 18) × 3 = 84 км. Сходится.
Тот же ответ можно получить без уравнения. От суммы 28 отнимаем разницу 8, получаем 20, делим пополам и находим скорость пешехода 10 км/ч.
Движение по реке и средняя скорость
В задачах про лодки и катеры течение помогает или мешает:
- по течению: v собственная + v течения
- против течения: v собственная − v течения
Пусть лодка идёт по течению со скоростью 18 км/ч, а течение 3 км/ч. Собственная скорость 18 − 3 = 15 км/ч, а против течения лодка пойдёт 15 − 3 = 12 км/ч.
Средняя скорость равна всему пути, делённому на всё время: vср = s ÷ t. Это не среднее арифметическое скоростей, хотя с средним арифметическим её часто путают.
Пример: 100 км велосипедист ехал 50 км/ч, потом ещё 100 км со скоростью 100 км/ч (так бывает только в задаче). Время: 100 ÷ 50 = 2 ч и 100 ÷ 100 = 1 ч. Весь путь 200 км, всё время 3 ч, средняя скорость 200 ÷ 3 ≈ 66,7 км/ч, а не 75.
Если скорости и время в задаче записаны десятичными дробями, помогут правила действий с десятичными дробями.
Где ошибаются чаще всего
- Складывают скорости при движении вдогонку. Если оба едут в одну сторону, скорости вычитают. Проверь по рисунку, сближаются объекты или удаляются и в какую сторону.
- Не учитывают разное время выхода. Велосипедист выехал со скоростью 15 км/ч, а мотоциклист стартовал на 2 часа позже. Сначала найди, сколько велосипедист успел проехать: 15 × 2 = 30 км. Затем делим это расстояние на скорость сближения 45 − 15 = 30 км/ч. Мотоциклист догонит его через 1 час после старта.
- Находят среднюю скорость как среднее скоростей. Нужно делить весь путь на всё время.
- Забывают про единицы. Спортсмен пробежал 100 м за 12,5 с, скорость 8 м/с. Если нужно в км/ч, считай отдельно: 8 м/с = 28,8 км/ч.
- Не проверяют ответ. Подставь найденные скорости в условие и убедись, что путь и время сошлись.
Какие задания присылают ученики и как пользоваться страницей
По теме на сайте 127 заданий, и почти все из 5 класса. Чаще всего это нахождение скорости, времени и пути, встречное движение и движение в противоположных направлениях, вдогонку, скорость по течению и против течения, составление выражений с буквами, а также средняя скорость.
Найди в списке выше задание, похожее на своё, и посмотри ход решения: какое действие выбрано первым и почему. Если похожего нет, сфотографируй своё задание и отправь на сайт, чтобы получить решение с ходом. Вернуться к другим разделам можно через все темы предмета.