Что такое среднее арифметическое и как его найти
Среднее арифметическое нескольких чисел — это их сумма, делённая на количество чисел. Его же называют средним значением, а когда речь об оценках или результатах, средним баллом.
Правило короткое:
- Сложи все числа.
- Посчитай, сколько их было.
- Раздели сумму на это количество.
Например, среднее арифметическое чисел 8 и 10 равно (8 + 10) ÷ 2 = 9. Для двух чисел это ещё называют полусуммой. Для трёх чисел 8, 9 и 10 получится (8 + 9 + 10) ÷ 3 = 27 ÷ 3 = 9.
Смысл у среднего простой. Если «выровнять» числа, перекладывая часть от больших к меньшим, каждое станет равно среднему. Поэтому среднее всегда лежит между самым маленьким и самым большим из чисел.
Как найти среднее арифметическое трёх чисел: разбор задания
Задание. Найдите среднее арифметическое чисел 7,4; 5,9 и 6,2.
Шаг 1. Складываем. Записываем десятичные дроби в столбик, запятая под запятой. 7,4 + 5,9 = 13,3. Затем 13,3 + 6,2 = 19,5. Если нужно освежить сложение с запятыми, загляни в тему десятичные дроби.
Шаг 2. Считаем количество. Чисел три.
Шаг 3. Делим. 19,5 ÷ 3 = 6,5.
Проверка. Умножаем среднее на количество чисел: 6,5 × 3 = 19,5. Получили исходную сумму, значит, всё верно. Ещё одна проверка на здравый смысл: 6,5 больше самого маленького числа (5,9) и меньше самого большого (7,4).
Ответ: 6,5.
Обратные задачи и удобные приёмы
Известно среднее и одно число, нужно найти другое. Среднее арифметическое двух чисел равно 6,2, одно из них 7,5. Сначала найди сумму: 6,2 × 2 = 12,4. Потом вычти известное число: 12,4 − 7,5 = 4,9. Проверка: (7,5 + 4,9) ÷ 2 = 6,2. Такие задачи удобно записывать через уравнение, где неизвестное число обозначено буквой.
Числа идут с одинаковым шагом. Для 13, 14, 15, 16, 17 сумму считать не нужно: среднее равно числу посередине, то есть 15. Так же для 20, 25, 30, 35, 40 среднее равно 30. Приём работает, когда чисел нечётное количество и каждое следующее больше предыдущего на одно и то же число.
Сравнение результатов. Если у одного участника четыре попытки, а у другого пять, сравнивать суммы нечестно. Находят среднее каждого и сравнивают его.
Разное количество в группах. Если 2 кг конфет стоят по 80 рублей, а 3 кг по 60, средняя цена не равна (80 + 60) ÷ 2. Нужно взять общую стоимость и разделить на общую массу: (2 × 80 + 3 × 60) ÷ 5 = 340 ÷ 5 = 68 рублей за килограмм. Здесь пригодится умножение и деление, а похожие задачи собраны в теме текстовые задачи.
Где ошибаются чаще всего
- Забывают разделить. Нашли сумму 19,5 и записали её как ответ. Среднее всегда меньше суммы, если чисел больше одного.
- Делят на неверное количество. Считай числа в условии внимательно, а не по памяти. Ноль тоже считается числом: для 0, 4 и 8 среднее равно 12 ÷ 3 = 4, а не 12 ÷ 2.
- Путают запятые при сложении. В столбике запятая пишется строго под запятой. Если у чисел разное число знаков после запятой, например 3,5 и 4,25, допиши нули: 3,50 + 4,25.
- Не проверяют ответ. Среднее не может быть меньше наименьшего числа или больше наибольшего. Если вышло иначе, ищи ошибку в сложении или делении.
- Берут полусумму крайних чисел для любого набора. Это верно для двух чисел и для чисел с равным шагом. Для 3, 9 и 27 среднее равно 39 ÷ 3 = 13, а не (3 + 27) ÷ 2 = 15.
Какие задания присылают ученики и как пользоваться страницей
Чаще всего приходят прямые задания: найти среднее арифметическое двух, трёх или четырёх чисел, в том числе десятичных дробей. Встречаются задачи с оценками судей и отметками за четверть, таблицы со средним баллом команд, обратные задачи на поиск неизвестного числа и задания «придумай числа с заданным средним».
Посмотри список заданий выше и найди похожее на своё: у каждого есть полный ход решения. Если подходящего нет, сфотографируй своё задание и отправь на сайт, чтобы получить решение с пояснениями. Для задач с таблицами пригодится ещё тема таблицы и диаграммы.