Что такое отношение двух чисел
Отношение двух чисел — это их частное. Записывают его через двоеточие или дробной чертой: 15 : 16 или 15/16. Оно отвечает на вопрос «во сколько раз первое число больше второго» или «какую часть первое составляет от второго».
Пример: на клумбе 15 красных и 16 жёлтых роз. Отношение жёлтых роз к общему числу равно 16 : 31, потому что всего роз 15 + 16 = 31. Порядок важен: число, о котором спрашивают, стоит первым.
Если поменять числа местами, получится обратное отношение: для 16 : 31 это 31 : 16. Оно показывает то же самое, только наоборот.
Отношение можно сокращать, как обычную дробь: 30 : 12 = 5 : 2. Отношение дробей считают так же, как деление: ½ : ⅓ = ½ × 3 = 3/2 = 1,5. Если с дробями пока неуверенно, загляни в тему обыкновенные дроби.
Отношение в процентах — это отношение части к целому, умноженное на 100%. Например, 15 из 60 — это 15 : 60 = 0,25, то есть 25%. Подробнее об этом в теме проценты.
Пропорция и её основное свойство
Пропорция — равенство двух отношений: a : b = c : d, или a/b = c/d. Числа a и d называют крайними членами, b и c — средними.
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних, то есть a × d = b × c. Из него следуют все приёмы решения.
Чтобы найти неизвестный член, перемножь числа по диагонали и раздели на оставшееся:
- в пропорции 12 : 7 = 60 : x неизвестен крайний член, значит x = 7 × 60 ÷ 12 = 35;
- в пропорции x/1,5 = 1,6/0,3 получаем x = 1,5 × 1,6 ÷ 0,3 = 8.
Если в пропорции есть выражения с x, пользуйся тем же свойством и получай обычное уравнение. Например, (x + 2)/3 = (2x − 1)/5. Перемножаем крест-накрест: 5 × (x + 2) = 3 × (2x − 1). Раскрываем скобки: 5x + 10 = 6x − 3. Отсюда x = 13. Проверка: 15/3 = 5 и 25/5 = 5, всё верно.
Как решить задачу с пропорцией: разбор по шагам
Возьмём задачу: из 15 кг муки выходит 20 кг хлеба. Сколько килограммов хлеба выйдет из 36 кг муки?
Шаг 1. Определи, какие величины связаны. Здесь это масса муки и масса хлеба. Больше муки — больше хлеба, значит, зависимость прямая.
Шаг 2. Запиши условие таблицей, одинаковые величины друг под другом:
мука: 15 кг — 36 кг хлеб: 20 кг — x кг
Шаг 3. Составь пропорцию: 15 : 36 = 20 : x.
Шаг 4. Найди x по основному свойству: x = 36 × 20 ÷ 15 = 720 ÷ 15 = 48.
Шаг 5. Проверь по смыслу. Муки стало в 36 ÷ 15 = 2,4 раза больше, и хлеба должно стать во столько же раз больше: 20 × 2,4 = 48. Совпало.
Ответ: 48 кг хлеба. В ответе всегда пиши единицы измерения.
Прямая и обратная пропорциональность, масштаб, деление в отношении
Эти три типа задач встречаются чаще всего.
Прямая пропорциональность: во сколько раз растёт одна величина, во столько же растёт другая. Пример: цена и количество товара, время работы и число булок. Решается пропорцией, как в разборе выше.
Обратная пропорциональность: одна величина растёт, другая во столько же раз уменьшается. Пример: 5 рабочих выполняют работу за 12 дней, за сколько дней её выполнят 10 рабочих? Произведение остаётся постоянным: 5 × 12 = 60, поэтому 60 ÷ 10 = 6 дней. В пропорции одно из отношений нужно перевернуть: 5 : 10 = x : 12.
Масштаб — это отношение длины на плане к длине в жизни. Масштаб 1 : 900 означает, что 1 см на плане равен 900 см, то есть 9 м, на местности. Если стороны участка на плане 2 см и 6 см, то в жизни это 18 м и 54 м. Периметр прямоугольника считай уже по реальным сторонам: 2 × (18 + 54) = 144 м. Про формулы читай в теме периметр и площадь.
Деление в отношении. Сумма двух чисел 180, а их отношение 2 : 7. Всего частей 2 + 7 = 9. Одна часть равна 180 ÷ 9 = 20. Значит, числа 2 × 20 = 40 и 7 × 20 = 140. Проверка: 40 + 140 = 180, и 40 : 140 = 2 : 7.
Где ошибаются чаще всего
- Перепутан порядок в отношении. Если спрашивают отношение девочек к общему числу учеников, на первом месте девочки, а в знаменателе все ученики, а не только мальчики. Читай вопрос до конца и подчёркивай, что к чему.
- Пропорция составлена «вразнобой». Одинаковые величины должны стоять на одинаковых местах: муку делим на муку, хлеб на хлеб. Иначе ответ получится неверным, хотя считать ты будешь правильно.
- Обратную зависимость решают как прямую. Прежде чем писать пропорцию, спроси себя: когда одна величина растёт, другая тоже растёт или уменьшается? Больше бульдозеров означает меньше времени, значит, зависимость обратная.
- Разные единицы в масштабе. Длину на плане в сантиметрах умножили на масштаб и сразу записали в метрах. Сначала получи сантиметры, потом переведи: 100 см = 1 м. Если нужно вспомнить соотношения, смотри единицы измерения.
- Забытая скобка в уравнении. В (x + 7)/3 = (2x − 3)/5 при умножении крест-накрест надо умножать на всё выражение: 5 × (x + 7), а не 5 × x + 7.
Какие задания присылают ученики
По этой теме ученики 6 класса присылают задачи на отношение чисел и обратное отношение, пропорции-уравнения, прямую и обратную пропорциональность, масштаб и периметр участка, деление числа в заданном отношении. Бывают и нестандартные задачи, например про монеты разного веса.
Найди в списке выше задание, похожее на твоё, и посмотри ход решения. Если нужного нет, сфотографируй своё условие, и ты получишь решение с пояснениями по шагам. Задачи, где пропорция не нужна, а нужен разбор условия, собраны в теме текстовые задачи.