Что такое положительные и отрицательные числа
Положительные числа больше нуля: 3, 0,5, 2⅓. Отрицательные меньше нуля, перед ними стоит минус: −3, −0,5, −2⅓. Ноль не положительный и не отрицательный.
На координатной прямой положительные числа лежат справа от нуля, отрицательные слева. Чем правее точка, тем число больше. Поэтому −2 > −7, хотя 7 «на вид» больше.
Два числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными: 4 и −4, −1,5 и 1,5. Расстояние от числа до нуля называется модулем, его записывают |x|. Модуль не бывает отрицательным: |−6| = 6, |6| = 6, |0| = 0.
К целым числам добавляются дроби. Правила для десятичных дробей и обыкновенных те же, что для целых: знак и модуль обрабатываются отдельно.
Сложение и вычитание отрицательных и положительных чисел
Правило сложения зависит от знаков слагаемых.
- Знаки одинаковые. Сложи модули, поставь общий знак: −4 + (−5) = −9.
- Знаки разные. Из большего модуля вычти меньший, поставь знак числа с большим модулем: −8,5 + 3,2 = −5,3, потому что 8,5 − 3,2 = 5,3, а больший модуль у отрицательного числа.
Вычитание сводится к сложению: чтобы вычесть число, прибавь противоположное. Запись a − b = a + (−b).
- 6 − (−3) = 6 + 3 = 9
- −7 − (−5) = −7 + 5 = −2
- 4 − 10 = 4 + (−10) = −6
Минус перед скобкой с отрицательным числом превращается в плюс. Об остальных приёмах работы со скобками можно прочитать в теме сложение и вычитание.
Умножение и деление: правило знаков
Сначала перемножь или раздели модули, потом поставь знак по правилу:
- одинаковые знаки дают плюс: (−4) × (−3) = 12, (−20) ÷ (−5) = 4;
- разные знаки дают минус: 4 × (−3) = −12, 20 ÷ (−5) = −4.
Если множителей несколько, посчитай отрицательные. Чётное количество даёт плюс, нечётное минус. Например, (−2) × (−3) × (−1) × 5: три минуса, значит ответ отрицательный, −30.
Ноль на любое число даёт ноль, а делить на ноль нельзя. Подробнее о самих действиях написано в теме умножение и деление.
Разбор задания по шагам
Вычисли: 6 − (−4) × 3 + (−20) : (−5)
- Сначала умножение и деление, как в порядке действий. Разные знаки, значит минус: (−4) × 3 = −12.
- Деление: знаки одинаковые, значит плюс: (−20) : (−5) = 4.
- Подставь результаты: 6 − (−12) + 4.
- Вычитание отрицательного заменяется прибавлением: 6 + 12 + 4.
- Сложи: 22.
Ответ: 22. Проверь: на каждом шаге смотри отдельно на знак и на модуль, так меньше шансов потерять минус.
Где ошибаются чаще всего
- Степень и минус. −5² и (−5)² разные числа. В −5² возводится в степень только 5, поэтому −5² = −25. В (−5)² в квадрат идёт всё число со знаком: (−5)² = 25. Для нечётной степени знак сохраняется: (−2)³ = −8.
- Потерянный минус при вычитании. 8 − (−3) равно 11, а не 5. Вычитание отрицательного числа увеличивает результат.
- Знак суммы при разных знаках. В −14,7 + 3,9 ответ отрицательный, потому что у −14,7 модуль больше: получается −10,8. Многие ставят плюс, глядя на последнее слагаемое.
- Модуль и уравнение. |x| = 1 имеет два корня: 1 и −1. |x| = 0 имеет один корень, 0. Уравнение |x| = −5 корней не имеет, потому что модуль не бывает отрицательным. Больше таких задач в теме уравнения.
Какие задания присылают ученики
По этой теме чаще всего присылают примеры на сложение и вычитание рациональных чисел, в том числе с десятичными дробями, умножение и деление с разными знаками, значения выражений со степенями отрицательных чисел. Ещё встречаются уравнения с модулем и задания на координатную прямую: отметить точки, сравнить числа, найти середину отрезка.
Выше есть список решённых заданий с полным ходом решения. Найди среди них похожее и сверь свои шаги. Если такого нет, сфотографируй своё задание и получи решение с объяснением.