Сложение и вычитание чисел: компоненты и свойства
При сложении числа называются слагаемые, а результат — сумма: 56 + 28 = 84, где 56 и 28 — слагаемые, 84 — сумма. При вычитании первое число — уменьшаемое, второе — вычитаемое, результат — разность: в записи 93 − 47 = 46 уменьшаемое 93, вычитаемое 47, разность 46.
Действия связаны между собой, и на этом строится проверка:
- сумма минус одно слагаемое равна другому слагаемому;
- разность плюс вычитаемое равна уменьшаемому;
- уменьшаемое минус разность равно вычитаемому.
Поэтому 61 − 29 = 32 проверяют двумя способами: 32 + 29 = 61 и 61 − 32 = 29. Если хотя бы одно равенство не сошлось, разность найдена неверно.
Свойства, которые чаще всего встречаются в заданиях:
- переместительное: a + b = b + a;
- сочетательное: (a + b) + c = a + (b + c);
- вычитание числа из суммы: (a + b) − c = (a − c) + b, если a ≥ c, или (a + b) − c = a + (b − c), если b ≥ c;
- вычитание суммы из числа: a − (b + c) = (a − b) − c.
Свойства нужны, чтобы считать удобнее. Например, 483 007 + 3 102 + 4 501 можно складывать в любом порядке и с любыми скобками, ответ не изменится. Если в задании на сравнение выражений числа в скобках отличаются хотя бы одной цифрой, сумма уже другая, и знак «=» ставить нельзя.
Примеры на сложение и вычитание: устные приёмы
Сложение и вычитание в пределах 10 нужно знать наизусть, остальное строится на этом. Для чисел больше 10 работает переход через десяток: 8 + 5 = 8 + 2 + 3 = 10 + 3 = 13. Число 5 разбивают так, чтобы первым шагом получить круглое.
Для двузначных чисел удобен приём округления. Одно число заменяют ближайшим круглым, а потом исправляют результат:
56 + 39 = 56 + 40 − 1 = 96 − 1 = 95
75 + 18 = 75 + 20 − 2 = 95 − 2 = 93
При вычитании округляют вычитаемое, но поправка идёт в другую сторону: 52 − 19 = 52 − 20 + 1 = 33. Вычли на 1 больше, чем нужно, значит, один возвращаем.
Проверка простая: если прибавил больше, чем надо, отними лишнее. Если вычел больше, чем надо, верни.
Если нужно разобраться, как устроены разряды в больших числах, пригодится тема нумерация чисел.
Как вычитать столбиком: разбор
Найдём разность 9 205 − 3 478.
Шаг 1. Запиши числа друг под другом: единицы под единицами, десятки под десятками и так далее. Слева поставь знак «−», снизу проведи черту.
Шаг 2. Единицы: 5 − 8 не получается. Занять у десятков нельзя, там 0. Идём к сотням: в разряде сотен было 2, станет 1, в разряде десятков окажется 10. Теперь десятки одалживают единицу: там остаётся 9, а в единицах получается 15. Считаем 15 − 8 = 7.
Шаг 3. Десятки: 9 − 7 = 2.
Шаг 4. Сотни: было 2, но одну сотню мы отдали, осталась 1. Снова 1 − 4 не вычесть, занимаем у тысяч: 11 − 4 = 7. В тысячах было 9, а теперь 8.
Шаг 5. Тысячи: 8 − 3 = 5.
Ответ: 5 727.
Проверка: 5 727 + 3 478 = 9 205. Совпало, значит, всё верно. Проверку лучше делать всегда: на неё уходит полминуты, а ошибку в цепочке заимствований она ловит почти всегда.
Сложение и вычитание дробей
Это один из самых частых запросов по теме, хотя начинается дробная арифметика обычно позже, чем сложение и вычитание натуральных чисел.
Если у дробей одинаковые знаменатели, знаменатель остаётся прежним, а числители складывают или вычитают: 3/8 + 2/8 = 5/8, 7/9 − 4/9 = 3/9 = ⅓.
Если знаменатели разные, дроби сначала приводят к общему знаменателю:
½ + ⅓ = 3/6 + 2/6 = 5/6
Общий знаменатель берут такой, чтобы он делился на оба исходных. Для 2 и 3 это 6. Подробно про это, а также про смешанные числа, написано в теме действия с дробями, а основы собраны в обыкновенных дробях.
Где ошибаются чаще всего
- Вычитают меньшее из большего по разрядам. В столбике 42 − 17 пишут в единицах 7 − 2 = 5. Нужно занять десяток: 12 − 7 = 5, а в десятках будет 3 − 1 = 2. Ответ 25.
- Забывают уменьшить разряд после заимствования. Если занял у десятков, там стало на 1 меньше. Помогает маленькая точка или пометка над цифрой.
- Не делают поправку в приёме округления. В записи 56 + 39 = 56 + 40 получится 96, а правильный ответ 95. После округления всегда пиши «−1» или «+1».
- Складывают знаменатели. 1/5 + 2/5 равно 3/5, а не 3/10. Знаменатель показывает размер долей, и он не меняется, если доли одинаковые.
Какие задания по теме присылают ученики
Чаще всего присылают совсем короткие примеры вроде 2 + 2 или 34 + 55, а также вычитание столбиком многозначных чисел. Встречаются проверка вычитания двумя способами, названия компонентов действий, сравнение значений выражений по свойствам сложения, приёмы устных вычислений, числовые последовательности и задачи на нахождение нескольких неизвестных по суммам. Для задач с текстом есть отдельная тема текстовые задачи.
Найди в списке выше задание, похожее на твоё, и посмотри ход решения. Если подходящего нет, сфотографируй своё задание и отправь на сайт, чтобы получить решение с пояснениями.