Что такое делимость натуральных чисел
Натуральное число a делится на натуральное число b, если при делении получается натуральное число, без остатка. Например, 24 делится на 6, потому что 24 ÷ 6 = 4. Число 6 при этом называют делителем числа 24, а 24 — кратным числу 6.
У любого числа конечное количество делителей, а кратных бесконечно много:
- делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12;
- кратные числу 5: 5, 10, 15, 20, 25 и так далее.
Если у числа ровно два делителя (единица и оно само), оно простое: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Если делителей больше двух, число составное. Единица не относится ни к простым, ни к составным. Всё это опирается на умножение и деление: делитель всегда можно найти как один из множителей.
Признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9, 10, 4 и 6
Признаки позволяют понять, делится ли число, не выполняя деления.
- На 2 делятся числа, которые оканчиваются на 0, 2, 4, 6 или 8.
- На 5 делятся числа, которые оканчиваются на 0 или 5.
- На 10 делятся числа, которые оканчиваются на 0.
- На 3 делится число, у которого сумма цифр делится на 3.
- На 9 делится число, у которого сумма цифр делится на 9.
- На 4 делится число, если две его последние цифры образуют число, которое делится на 4, или это два нуля.
- На 6 делится число, которое делится и на 2, и на 3.
Пример: число 7 452. Сумма цифр 7 + 4 + 5 + 2 = 18, значит, число делится на 3 и на 9. Оно оканчивается на 2, поэтому делится на 2, а значит и на 6. Последние цифры 52 делятся на 4 (52 ÷ 4 = 13), так что число делится на 4. На 5 и на 10 оно не делится: последняя цифра не 0 и не 5.
Свойства делимости: сумма, разность, произведение
Эти свойства нужны в заданиях «не вычисляя, определите, делится ли».
- Если каждое слагаемое делится на n, то и сумма делится на n.
- Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на n, то и разность делится на n.
- Если хотя бы один множитель делится на n, то и произведение делится на n.
- Если одно слагаемое делится на n, а другое нет, то сумма на n не делится.
Разность 77 − 49 делится на 7, потому что 77 = 7 × 11 и 49 = 7 × 7. Произведение 6 × 14 делится на 2, на 3 и на 7: шестёрка даёт 2 и 3, четырнадцать даёт 2 и 7.
Задание вида «вставьте число, чтобы 32 + □ делилось на 11» решается так: ближайшее кратное 11 после 32 — это 33, значит, подходит 1. Подойдут и 12, 23, 34, всё, что даёт кратное 11.
Как найти НОД и НОК: разбор задачи
НОД — наибольший общий делитель, НОК — наименьшее общее кратное. Оба находят через разложение на простые множители. Для НОД берут общие множители с наименьшей степенью, для НОК — все множители с наибольшей степенью.
Задача: на школьную ярмарку привезли 126 тетрадей и 84 ручки. Из них составили одинаковые наборы без остатка. Какое наибольшее число наборов получится и что войдёт в каждый?
- Число наборов должно делить и 126, и 84, а нужно наибольшее. Значит, ищем НОД(126; 84).
- Раскладываем: 126 = 2 × 3 × 3 × 7, 84 = 2 × 2 × 3 × 7.
- Общие множители: 2, 3 и 7. НОД = 2 × 3 × 7 = 42.
- В каждом наборе: 126 ÷ 42 = 3 тетради и 84 ÷ 42 = 2 ручки.
Ответ: 42 набора по 3 тетради и 2 ручки.
Для сравнения, НОК(12; 18): 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², берём 2² и 3², получаем 4 × 9 = 36. Дробные примеры, где нужен НОК знаменателей, разобраны в темах обыкновенные дроби и действия с дробями.
Где ошибаются чаще всего
- Путают НОД и НОК в текстовых задачах. Если что-то нужно разделить на одинаковые части, это НОД. Если нужно узнать, когда события совпадут снова (автобусы, теплоходы), это НОК. Подробнее о таких сюжетах в разделе текстовые задачи.
- Применяют признак 2 к числу 3. На 3 делимость проверяют по сумме цифр, а не по последней цифре. Число 124 оканчивается на 4, но 1 + 2 + 4 = 7, на 3 оно не делится.
- Считают единицу простым числом. У единицы один делитель, поэтому она не простая. Зато 2 простое, и это единственное чётное простое число.
- Путают взаимно простые и простые числа. Числа 15 и 28 оба составные, но общих делителей, кроме 1, у них нет, поэтому они взаимно простые.
- Строят свои признаки из чужих. Делимость на 6 действительно проверяют через 2 и 3. Но на 8 так нельзя: число 12 делится на 2 и на 4, а на 8 нет.
Какие задания по делимости присылают ученики
В списке выше собраны задания 6 класса: признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, разложение на простые множители, НОД и НОК, задачи на одинаковые наборы и совпадение расписаний, взаимно простые числа, подбор числа под условие делимости.
Найди в списке задание, похожее на твоё, и посмотри, как устроен ход решения. Если нужного нет, сфотографируй своё задание и получи решение с пояснениями по шагам.