ГДЗ Геометрия 9 класс Мерзляк, номер 778

№

Гомотетия внешне касающихся окружностей, параллельность хорд

Две окружности касаются внешним образом. Через точку касания проведены две прямые, пересекающие окружности в точках $A_{1}$ , $A_{2}$ , $B_{1}$ , $B_{2}$ (рис. 244). Докажите, что $A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2}$ .

Решение

(На чертеже точка касания — . Для наглядности взяты окружности радиусов и ; , лежат на меньшей окружности, , — на большей.)

Дано: окружности и касаются внешним образом в точке ; прямые и проходят через ; , и , — их точки пересечения с окружностями (по одной на каждой окружности, отличные от ).

Доказать: .

Доказательство. Рассмотрим гомотетию с центром и коэффициентом . По задаче гомотетия с центром и коэффициентом переводит окружность в окружность . Обратная ей гомотетия (центр , коэффициент ) переводит окружность в окружность .

Прямая проходит через центр и переходит в себя. Точка окружности переходит в точку большей окружности, лежащую на прямой и отличную от . Такая точка на одна — это . Значит, ; аналогично . (Так как , точка лежит между и и между и — как на рисунке.)
Прямая — образ прямой , причём центр не лежит на (иначе и совпали бы). Образ прямой, не проходящей через центр гомотетии, параллелен этой прямой (задача § ). Поэтому . Что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано: гомотетия с центром в точке касания и коэффициентом переводит , , поэтому .

Помогло?

Номер 778 ГДЗ Геометрия 9 класс, Мерзляк 2022, страница 189