№ Построение треугольника по двум углам и радиусу вписанной окружности
Постройте треугольник по двум его углам и радиусу вписанной окружности.
Решение
Даны углы , и радиус вписанной окружности.
Построение.
-
Строим произвольный треугольник с углами , (отрезок любой длины и два данных угла при нём).
-
Строим вписанную окружность этого треугольника: центр — точка пересечения биссектрис углов, радиус — расстояние от до стороны.
-
Строим окружность с центром и данным радиусом . Лучи , , пересекают окружность в точках , , . Через них проводим касательные к этой окружности (перпендикуляры к радиусам , , ). Три касательные пересекаются попарно в точках , , .
Треугольник — искомый.
Доказательство. Рассмотрим гомотетию с центром и коэффициентом . Она переводит вписанную окружность треугольника в окружность с центром и радиусом ; точки касания , , сторон — в точки , , (лежат на тех же лучах из ). Каждая сторона треугольника переходит в параллельную ей прямую, касающуюся образа окружности (по задаче § и задаче ), т. е. в построенные касательные. Значит, треугольник — образ треугольника : его углы равны и , а окружность радиуса вписана в него.
Решение существует, если .
Ответ
Строим любой треугольник с двумя данными углами, находим центр его вписанной окружности, строим окружность радиуса с центром и проводим к ней касательные в точках пересечения с лучами, идущими из в точки касания вспомогательной окружности; полученные касательные образуют искомый треугольник.
