№ Хорда большей окружности и меньшая окружность, проходящая через центр
Две окружности касаются внутренним образом, причём меньшая окружность проходит через центр большей. Докажите, что любую хорду большей окружности, проходящую через точку касания, меньшая окружность делит пополам.
Решение
Дано: окружности касаются внутренним образом в точке ; — центр большей окружности, радиус которой ; меньшая окружность проходит через ; — хорда большей окружности; — вторая точка пересечения хорды с меньшей окружностью.
Доказать: .
Доказательство. Центры обеих окружностей лежат на одной прямой с точкой касания . Меньшая окружность проходит через и через , поэтому — её диаметр, . Значит, радиус меньшей окружности .
Рассмотрим гомотетию с центром и коэффициентом . По задаче она переводит меньшую окружность в большую. Прямая проходит через центр гомотетии, поэтому переходит в себя. Точка меньшей окружности, лежащая на и отличная от , переходит в точку большей окружности, лежащую на и отличную от , т. е. в точку . Поэтому , т. е. — середина отрезка .
Другое объяснение: угол вписан в меньшую окружность и опирается на её диаметр , поэтому , т. е. . Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам, значит .
Ответ
Доказано: меньшая окружность пересекает хорду в точке , для которой , т. е. .
Помогло?
Нет твоего задания?Сфоткай, и ДЗмэн решит за пару секунд.
