ГДЗ Геометрия 9 класс Мерзляк, номер 169

№

Высоты и радиус вписанной окружности

Докажите, что $\frac{1}{h _{1}} + \frac{1}{h _{2}} + \frac{1}{h _{3}} = \frac{1}{r}$ , где $h_{1}$ , $h_{2}$ и $h_{3}$ — высоты треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

Решение

Дано: , стороны , , ; , , — высоты, проведённые к сторонам , , ; — радиус вписанной окружности.
Доказать: .

Доказательство.

Пусть — площадь треугольника. Площадь равна половине произведения стороны на проведённую к ней высоту:

Отсюда выразим стороны: , , .
Полупериметр .
По формуле (площадь треугольника равна произведению полупериметра и радиуса вписанной окружности) имеем .
Подставляем из пункта : .

Что и требовалось доказать.

Ответ

Равенство доказано.

Помогло?

Номер 169 ГДЗ Геометрия 9 класс, Мерзляк 2022, страница 41