№ Деление биссектрисы центром вписанной окружности
Докажите, что каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
Решение
Дано: биссектриса , — центр вписанной окружности. Доказать: .
Решение. Обозначим , , . По теореме о биссектрисе . В треугольниках и общая высота из к равна радиусу вписанной окружности, поэтому их площади относятся как . Следовательно, при разбиении треугольника тремя биссектрисами веса сторон равны .
Применим теорему Ван-Обеля к чевиане : отношение от вершины до общей точки к оставшейся части равно сумме отношений на двух других сторонах, что после теоремы о биссектрисе даёт . То же рассуждение с циклической заменой букв верно для биссектрис из и .
Ответ
и аналогично для двух других биссектрис.
