Дано: середины высот коллинеарны. Доказать: — прямоугольный треугольник.
Решение. Обозначим середины высот через . Пусть , , а — направленный отрезок от до основания . Тогда по теореме Пифагора и .
Проведём через перпендикуляры к . Применяя подобие прямоугольных треугольников к основаниям высот , находим горизонтальные и вертикальные проекции сторон . Формула площади через две стороны и угол между ними после раскрытия даёт
.
Здесь — произведение по теореме косинусов, а , . Поэтому равенство можно записать короче:
.
По условию лежат на одной прямой, значит, . Площадь исходного треугольника положительна, поэтому хотя бы один из множителей равен нулю. Косинус угла треугольника равен нулю только при угле . Следовательно, треугольник прямоугольный.
