№ Равносторонний треугольник в трапеции
Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Треугольник ABO, где AB — меньшее основание трапеции, равносторонний. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются середины отрезков OA, OD и BC, равносторонний.
Решение
Дано: , равносторонний; — середины . Доказать: .
Решение. Из следует подобие . Значит, и , то есть тоже равносторонний. Обозначим , .
По теореме косинусов в треугольнике угол между (луч ) и (луч , противоположный ) равен . Поэтому .
Отрезок — средняя линия треугольника и часть средней линии треугольника ; при сложении соответствующих отрезков с углом по той же теореме косинусов получаем . Аналогично . Значит, все три стороны равны.
Ответ
Треугольник равносторонний.
