ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян, номер 868

№

Высота к гипотенузе

Из вершины прямого угла $C$ прямоугольного треугольника $ABC$ проведён перпендикуляр $CD$ к гипотенузе, а из точки $D$ — перпендикуляры $DE$ и $DF$ к катетам $AC$ и $BC$ . Докажите, что: а) $CD^3=AB\cdot AE\cdot BF$ ; б) $AE^2+BF^2+3CD^2=AB^2$ ; в) $\sqrt[3]{AE^2}+\sqrt[3]{BF^2}=\sqrt[3]{AB^2}$ .

Решение

Дано: , , , . Доказать а)–в).

Решение. Обозначим , , . По теореме Пифагора . По подобию прямоугольных треугольников, полученных высотой к гипотенузе, . Проекции точки на катеты дают и : например, , а .

а) .

б) . Так как , числитель равен . Значит, всё выражение равно .

в) .

Ответ

Все три равенства доказаны.

Помогло?

Номер 868