№ Разбиение выпуклого четырёхугольника
Середины K и M сторон AB и DC выпуклого четырёхугольника ABCD соединены отрезками KD, KC, MA и MB соответственно с его вершинами. Докажите, что площадь четырёхугольника, заключённого между этими отрезками, равна сумме площадей двух треугольников, прилежащих к сторонам AD и BC.
Решение
Дано: — середина , — середина . Доказать равенство указанных площадей.
Решение. Обозначим , , , . Искомый центральный четырёхугольник — ; боковые треугольники — и .
Так как , треугольники и имеют равные основания на прямой и общую высоту из , следовательно, . Также . Поскольку , по той же формуле площади и . Эти четыре равенства используют только половины равных оснований и общие высоты.
Разрежем названные восемь треугольников отрезками . При сложении равенств для и вычитании равенств для площади частей у и попарно сокращаются. Слева остаётся сумма площадей боковых треугольников и , справа — площадь . Поэтому .
