№ Признак параллелограмма по серединам
Докажите, что если сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна половине его периметра, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Решение
Дано: — середины , — середины ; . Доказать: — параллелограмм.
Решение. Проведём диагональ и отметим её середину . Средние линии в треугольниках и дают , . По неравенству треугольника . Равенство возможно лишь при расположении на одной прямой, а тогда .
Аналогично через середину диагонали получаем , причём равенство означает . Сумма двух верхних границ равна половине периметра. По условию сумма достигает этой границы; значит, оба неравенства обращаются в равенства. Следовательно, и . По определению — параллелограмм.
