№ Обратная теорема Менелая
Пусть точки C1, A1 и B1 лежат соответственно на сторонах AB, BC и AC треугольника ABC или их продолжениях. Докажите: если C1BAC1⋅A1CBA1⋅B1ACB1=1, то точки C1, A1 и B1 лежат на одной прямой (теорема, обратная теореме Менелая).
Решение
Дано: произведение равно . Выяснить, при каких расположениях следует коллинеарность.
Решение. В напечатанном утверждении не оговорено расположение точек, поэтому оно буквально неверно: если — середины сторон , каждое отношение равно , но три середины не лежат на одной прямой. Для обратной теоремы Менелая нужно, чтобы одна или три точки лежали на продолжениях сторон. При таком расположении проведём прямую и обозначим её пересечение с прямой через . К трём коллинеарным точкам применим доказанную теорему Менелая:
.
По условию то же произведение с первыми двумя множителями равно при замене последнего отношения на . Сокращаем положительные первые два множителя: . На прямой в данном допустимом расположении существует только одна точка с этим отношением расстояний до ; следовательно, . Значит, лежит на прямой .
Ответ
При одной или трёх точках на продолжениях коллинеарны; без этого условия утверждение неверно.
