ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян, номер 896

№

Теорема Ван-Обеля

Точки $C_1$ , $A_1$ , $B_1$ лежат соответственно на сторонах $AB$ , $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ , причём отрезки $AA_1$ , $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $O$ . Докажите, что $\dfrac{CO}{OC_1}=\dfrac{CA_1}{A_1B}+\dfrac{CB_1}{B_1A}$ (теорема Ван-Обеля).

Решение

Дано: три чевианы пересекаются в . Доказать указанное равенство.

Решение. Удобнее взять веса, задаваемые отношениями на сторонах: положительные числа такие, что , и . Их согласованность следует из теоремы Чевы. Для точки на отрезке подобие треугольников с параллелями к даёт . Из первых двух отношений имеем и . Следовательно, , что и требовалось.

Ответ

Помогло?

Номер 896