Дано: ; внешние квадраты , ; . Доказать общую точку .
Решение. Обозначим , , а пересечение с высотой — через . Проведём через перпендикуляры к катетам и назовём их длины до прямых и соответственно и . Так как , прямоугольные треугольники с катетами и подобны, откуда .
В квадрате имеем , а пересекает прямую через , параллельную , на расстоянии ниже . Подобные треугольники при прямой дают . Подставим и решим: , то есть и .
В квадрате точка находится на расстоянии от прямой с другой стороны и на высоте над . По подобию прямоугольных треугольников точка с расстояниями лежит на тогда и только тогда, когда . Подставляем найденное : правая часть равна . Следовательно, . Но и по построению, значит, три прямые пересекаются в .
