ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян, номер 913

№

Перпендикулярные диагонали вписанного четырёхугольника

Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.

Решение

Дано: вписан в окружность радиуса , . Доказать: .

Решение. Пусть , , , , . Диагонали перпендикулярны, поэтому по теореме Пифагора , , а значит, .

Отметим середины диагоналей и . Центр окружности лежит на серединных перпендикулярах к обеим диагоналям. Поскольку , расстояния от до прямых диагоналей по модулю равны и . По теореме Пифагора для половины хорды получаем
.

По теореме о пересекающихся хордах , поэтому последние два члена сокращаются. Значит, . Если вместо пар взять , теорема Пифагора даёт ту же сумму . Следовательно, тоже.

Ответ

Помогло?

Номер 913