№ Треугольник по основаниям высот
Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте треугольник, для которого эти точки являются основаниями высот. Сколько решений имеет задача?
Решение
Дано: неколлинеарные точки , предполагаемые основания высот. Построить все треугольники и установить число решений.
Решение. Из задачи известно, что в остроугольном треугольнике высоты служат биссектрисами треугольника оснований высот . Для любого исходного треугольника эти прямые могут быть внутренними или внешними биссектрисами углов . Поэтому его ортоцентр должен быть одной из четырёх точек пересечения биссектрис треугольника : центром вписанной окружности или одним из трёх центров вневписанных окружностей.
Выберем такую точку . Проведём через соответствующие биссектрисы как высоты. Через проведём прямую, перпендикулярную : это искомая сторона . Аналогично через — сторону , через — сторону . Пересечения трёх полученных прямых дадут ; проверка перпендикулярности показывает, что исходные точки действительно основания высот. Для каждой из четырёх выбранных точек получается один треугольник, и других вариантов ортоцентра нет.
Ответ
Четыре решения: выбор центра вписанной окружности или одного из трёх центров вневписанных окружностей треугольника, образованного данными точками.
