Номер 492

Дано: — трапеция, .

Доказать: а) если , то ; б) если , то .

а)

Пусть и — меньшее основание. Через вершину проведём прямую, параллельную ; она пересечёт в точке (точка лежит на отрезке , так как ).

1. — параллелограмм (стороны попарно параллельны), поэтому .

2. как соответственные углы при параллельных прямых и и секущей . По условию , значит, .

3. В треугольнике два угла равны, поэтому он равнобедренный: (признак равнобедренного треугольника). Отсюда , то есть трапеция равнобедренная.

б)

Пусть и — меньшее основание. Через вершину проведём прямую, параллельную диагонали ; она пересечёт прямую в точке (за точкой ).

1. — параллелограмм (, ), поэтому . Так как , то .

2. Треугольник равнобедренный с основанием , значит, .

3. как соответственные углы при параллельных прямых и и секущей . Поэтому .

4. Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними: , — общая сторона, . Следовательно, , то есть трапеция равнобедренная.

Признаки доказаны.