ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян, номер 478

№

Выпуклость параллелограмма

Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.

Решение

Дано: параллелограмм .

Доказать: — выпуклый четырёхугольник, то есть он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Доказательство. Рассмотрим прямую . Отрезок не имеет общих точек с прямой , так как . Значит, концы и отрезка лежат по одну сторону от прямой (если бы они лежали по разные стороны, отрезок пересекал бы прямую ). Тогда и отрезки и лежат по ту же сторону от прямой : каждый из них имеет на прямой только один конец, а второй конец ( или ) лежит в той же полуплоскости. Таким образом, весь параллелограмм лежит по одну сторону от прямой .

Точно так же, пользуясь параллельностью , получаем, что параллелограмм лежит по одну сторону от прямой , а пользуясь — по одну сторону от прямых и .

Итак, параллелограмм лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины, то есть является выпуклым четырёхугольником.

💡 Почему так

Противоположная сторона параллельна прямой, содержащей данную сторону, поэтому не пересекает её; значит, все вершины лежат по одну сторону от этой прямой.

Ответ

Доказано: для каждой стороны противоположная сторона ей параллельна, поэтому параллелограмм лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону, — он выпуклый.

Помогло?

Номер 478