Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма (теорема Вариньона).
Дано: четырёхугольник
Доказать:
Доказательство.
-
Проведём диагональ
. Она разбивает четырёхугольник на треугольники и . -
В треугольнике
отрезок соединяет середины сторон и , то есть является средней линией. По свойству средней линии (задача ) и . -
В треугольнике
отрезок соединяет середины сторон и — это тоже средняя линия, поэтому и . -
Получаем:
(обе прямые параллельны ) и . В четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, значит, по признаку (п. ) — параллелограмм.
Теорема доказана.
Обе стороны
Доказано:
