Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Докажите свойство средней линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.
Дано:
Доказать:
Доказательство.
-
Через точку
проведём прямую, параллельную основаниям и ; она пересекает боковую сторону в некоторой точке . На прямой отложены равные отрезки , и через точки , , проведены параллельные прямые , , . По теореме Фалеса (задача ) они отсекают на прямой равные отрезки: . Значит, — середина , то есть совпадает с . Итак, и . -
Проведём диагональ
; она пересекает отрезок в точке .
В треугольнике
В треугольнике
- Точка
лежит между и , поэтому
Утверждение доказано.
Параллельность следует из теоремы Фалеса, а длина — из того, что диагональ разбивает среднюю линию трапеции на две средние линии треугольников.
Доказано:
