Докажите свойства равнобедренной трапеции: а) в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны; б) в равнобедренной трапеции диагонали равны.
Дано:
Доказать: а)
а)
Пусть
-
В четырёхугольнике
противоположные стороны попарно параллельны: (основания трапеции) и (по построению). Значит, — параллелограмм, и как противоположные стороны. Так как , то . -
Треугольник
равнобедренный с основанием , поэтому углы при основании равны: . -
как соответственные углы при параллельных прямых и и секущей . Следовательно, , то есть . -
Углы
и — односторонние при параллельных прямых и и секущей , поэтому . Аналогично . Так как , то .
б)
Рассмотрим треугольники
Свойства доказаны.
Вспомогательная прямая через конец меньшего основания параллельно боковой стороне «отрезает» параллелограмм и равнобедренный треугольник — отсюда равенство углов при основании; равенство диагоналей следует из равенства треугольников
Доказано: а)
