Докажите признак средней линии треугольника. Через середину стороны треугольника проведена прямая, параллельная стороне . Эта прямая пересекает сторону в точке . Докажите, что — средняя линия треугольника .
Дано:
Доказать:
Доказательство.
-
Через точку
проведём прямую, параллельную прямой , и обозначим буквой точку её пересечения с прямой . -
В четырёхугольнике
стороны попарно параллельны: по условию, по построению. Значит, — параллелограмм, и (противоположные стороны). Так как по условию, то . -
Рассмотрим треугольники
и . В них ; как накрест лежащие углы при параллельных прямых и и секущей ; как накрест лежащие углы при тех же параллельных прямых и секущей . По второму признаку равенства треугольников . -
Из равенства треугольников
, то есть — середина стороны . Отрезок соединяет середины сторон и , следовательно, по определению — средняя линия треугольника .
Прямая через середину стороны, параллельная другой стороне, обязательно проходит через середину третьей стороны — это и есть признак средней линии. Доказывается через параллелограмм
Доказано:
