ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян, номер 481

№

Колёса тепловоза и стержень

На рисунке 194 изображены два одинаковых колеса тепловоза. Радиусы $O_1A$ и $O_2B$ равны. Стержень $AB$ , длина которого равна расстоянию $O_1O_2$ между центрами колёс, передаёт движение от одного колеса к другому. Докажите, что отрезки $AB$ и $O_1O_2$ либо параллельны, либо лежат на одной прямой. (На рисунке 194 точки $A$ и $B$ лежат на колёсах по одну сторону от прямой $O_1O_2$ , стержень $AB$ соединяет их.)

Решение

Дано: окружности с центрами и , , ; точки и лежат по одну сторону от прямой или на ней.

Доказать: или отрезки и лежат на одной прямой.

Доказательство. Возможны два случая.

Точки и не лежат на прямой . Тогда — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно равны: по условию, как радиусы одинаковых колёс. По признаку (п. ) это параллелограмм, поэтому .
Одна из точек, например , лежит на прямой . Покажем, что тогда и лежит на этой прямой. Пусть — радиус колёс, . Точка удалена от на , поэтому равно , или (смотря по тому, лежит ли за точкой , между центрами или за точкой ). Если бы не лежала на прямой , то для треугольника со сторонами , выполнялось бы строгое неравенство треугольника. Но в каждом из трёх случаев одна сторона равна сумме двух других: , или , или . Значит, точки , , лежат на одной прямой, то есть лежит на прямой . В этом случае отрезки и лежат на одной прямой.

Утверждение доказано.

💡 Почему так

Четырёхугольник с попарно равными противоположными сторонами — параллелограмм (признак ); если же точки и попали на прямую центров, параллелограмма нет, и отрезки лежат на одной прямой (это положение «мёртвой точки» механизма).

Ответ

Доказано: если и не лежат на прямой , то — параллелограмм и ; иначе и лежат на одной прямой.

Помогло?

Номер 481