№ Симметричные точки и касательные к кубической функции
Графику функции y=x3+ax2+bx+c принадлежат точки A и B, симметричные относительно прямой x=−2. Касательные к этому графику в точках A и B параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку (0;1), а другая — через точку (0;5). Найти a, b, c.
Решение
Запишем абсциссы симметричных различных точек как и , где . Их ординаты равны: . Производная . Из равенства наклонов касательных получаем , значит, .
Подставляя это в равенство ординат и раскрывая кубы, находим . Поскольку , имеем . Общий наклон касательных . Свободные члены прямых при одинаковой ординате точек касания отличаются на . Их значения по условию равны и , поэтому , , .
Абсциссы точек теперь и . Значения функции в них равны . При свободные члены касательных равны и . Они равны и , значит, . Все условия проверены.
