ГДЗ по алгебре 10 класс Колягин, номер 1105

№

Доказательство тригонометрических тождеств

Доказать тождество: 1) $\dfrac{\sin\alpha+\sin3\alpha+\sin5\alpha+\sin7\alpha}{\cos\alpha+\cos3\alpha+\cos5\alpha+\cos7\alpha}=\tg4\alpha$ ; 2) $\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma-\sin(\alpha+\beta+\gamma)=4\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\beta+\gamma}{2}\sin\dfrac{\gamma+\alpha}{2}$ .

Решение

ОДЗ: знаменатель дроби ненулевой. Сложим крайние и внутренние слагаемые. Для числителя , . Значит, числитель равен .
Аналогично знаменатель равен . Поскольку он ненулевой, сокращаем общий множитель и получаем .
Обозначим . Сначала сгруппируем . Затем по формуле разности синусов .
Левая часть равна . По формуле разности косинусов выражение в квадратных скобках равно . Перемножаем и получаем правую часть.

Ответ

Тождество доказано при ненулевом знаменателе; ) тождество доказано для всех .

Помогло?

Номер 1105