В угол, равный , вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Радиус меньшей окружности равен . Найдите радиус большей окружности.
Дано: две окружности касаются обеих сторон угла
-
Центр каждой окружности, касающейся обеих сторон угла, равноудалён от них. По свойству биссектрисы он лежит на биссектрисе угла. Поэтому вершина
и оба центра лежат на одном луче. -
Проведём из каждого центра перпендикуляр к стороне угла. В образовавшемся прямоугольном треугольнике угол при
равен . Катет напротив равен половине гипотенузы. Этот катет — радиус, а гипотенуза — расстояние до центра. Следовательно, , . -
Центр меньшей окружности расположен между
и центром большей. Поэтому . -
По условию окружности касаются внешним образом, значит, расстояние между центрами равно сумме радиусов:
. Приравняем выражения: . Раскроем скобки: , откуда .
Радиус большей окружности равен
