№ Существование x с заданным значением квадратного трёхчлена (выделение полного квадрата)
Существует ли значение переменной x, при котором значение квадратного трёхчлена x2−10x+31 равно:
а) −5;
б) 6;
в) 55?
Решение
Выделим полный квадрат: .
Так как при любом , трёхчлен принимает только значения, не меньшие : его наименьшее значение равно и достигается при .
а) Число меньше наименьшего значения трёхчлена (), поэтому такого не существует.
б) Значение — это как раз наименьшее значение трёхчлена: , откуда , . Значит, такое существует.
в) , откуда , , то есть или . Значит, такое существует.
💡 Почему так
Трёхчлен выделением полного квадрата приводится к виду , где — его наименьшее значение. Если заданное число меньше , подходящего не существует; если равно или больше — существует (один или два корня соответственно).
Ответ
а) Не существует: наименьшее значение трёхчлена равно , а .
б) Существует: .
в) Существует: или .
