№ Множество точек, заданное неравенством-произведением (круг и парабола)
Каким множеством точек изображается множество решений неравенства:
а) y(x2+y2−1)≥0;
б) x(x2−y)≤0?
Решение
а) Произведение неотрицательно, когда оба множителя одного знака (или один из них — ноль). Первый случай: и — верхняя полуплоскость, из которой исключён открытый полукруг (область ). Второй случай: и — полукруг единичного круга, расположенный ниже оси (область ). Решение — объединение и .
б) Произведение неположительно, когда множители разных знаков (или один — ноль). Первый случай: и , то есть — часть плоскости правее оси (включая её), лежащая на параболе или выше неё. Второй случай: и , то есть — часть плоскости левее оси (включая её), лежащая на параболе или ниже неё. Решение — объединение этих двух частей.
Ответ
а) Объединение двух областей и , где — верхняя полуплоскость (), из которой исключён открытый полукруг , а — полукруг единичного круга, расположенный ниже оси .
б) Объединение двух областей: справа от оси (включая её) — часть плоскости на параболе и выше неё; слева от оси (включая её) — часть плоскости на параболе и ниже неё.
