ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин, номер 171

№

Сложная функция, область определения и множество значений

Записать формулой функцию $f(g(x))$ ; найти её область определения и множество значений, если: 1) $f(y)=y^2$ , $y=g(x)=x+1$ ; 2) $f(y)=\lg y$ , $y=g(x)=\sqrt{x-1}$ ; 3) $f(y)=\frac{y+1}{y-2}$ , $y=g(x)=\log_2x$ ; 4) $f(y)=\sqrt y$ , $y=g(x)=\frac{x+2}{x-3}$ .

Решение

Подставляем вместо аргумента : . Линейное выражение определено при всяком . Квадрат неотрицателен и равен нулю при ; любое положительное значение получается при подходящем . Поэтому , .
По определению сложной функции . Корень требует , а аргумент логарифма должен быть строго положителен. Совместно получаем . При число пробегает все положительные значения, а его логарифм — все действительные числа. Значит, , .

После подстановки . Для логарифма нужно ; знаменатель не равен нулю, когда , то есть . Пусть ; тогда принимает любое действительное значение, кроме . Равенство означало бы , что невозможно. Для любого уравнение даёт ; следовательно, иных ограничений на значение функции нет. Итак, , .

По определению . Требуем и . Нуль числителя равен , нуль знаменателя — ; знаки дроби дают либо . Перепишем подкоренное выражение: . На оно принимает значения от включительно до не включительно; на — значения строго больше . Корень сохраняет эти промежутки. Получаем , .

Ответ

, , ; ) , , ; ) , , ; ) , , .

Помогло?

Номер 171