Пусть — вершина угла, — центры окружностей. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому все центры лежат на одной прямой — биссектрисе, а она образует со стороной угла угол .
Шаг . Расстояние от центра до вершины. Проведём из перпендикуляр к стороне угла — радиус (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой и катетом , лежащим против угла . Катет против угла равен половине гипотенузы, поэтому . Аналогично .
Шаг . Связь радиусов. Окружности касаются внешним образом, а центры лежат на одной прямой, причём между и . Поэтому (расстояние между центрами касающихся извне окружностей) и в то же время . Приравниваем:
Те же рассуждения для любых двух соседних окружностей дают
.
Шаг . Прогрессия. Отношение постоянно, значит, — геометрическая прогрессия с , — бесконечно убывающая. Формула -го члена:
Шаг . Сумма. Сумма — сумма бесконечно убывающей прогрессии с первым членом и :
Тогда
то есть сумма равна расстоянию от центра первой окружности до вершины угла.
