ГДЗ Алгебра 10-11 класс Алимов, номер 115

№

Упрощение выражений со степенями с дробными показателями

Упростить выражение:

$\left(\frac{a^{\genfrac{}{}{}{}{4}{3}}b+ab^{\genfrac{}{}{}{}{4}{3}}}{a^{\genfrac{}{}{}{}{1}{3}}+b^{\genfrac{}{}{}{}{1}{3}}}\cdot\frac{1}{a^{\genfrac{}{}{}{}{1}{3}}b^{\genfrac{}{}{}{}{1}{3}}}\right)^3$ ;
$\frac{a^{\genfrac{}{}{}{}{1}{3}}-b^{\genfrac{}{}{}{}{1}{3}}}{\sqrt[3]{ab}}\cdot\frac{ab^{\genfrac{}{}{}{}{1}{3}}-a^{\genfrac{}{}{}{}{1}{3}}b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$ ;
$\frac{a^{\genfrac{}{}{}{}{2}{3}}-b^{\genfrac{}{}{}{}{2}{3}}}{a^{\genfrac{}{}{}{}{1}{3}}+b^{\genfrac{}{}{}{}{1}{3}}}\cdot\frac{a^{\genfrac{}{}{}{}{2}{3}}+\sqrt[3]{ab}+b^{\genfrac{}{}{}{}{2}{3}}}{a-b}$ ;
$\frac{a^{\genfrac{}{}{}{}{4}{3}}-b^{\genfrac{}{}{}{}{4}{3}}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}\cdot\frac{a^{\genfrac{}{}{}{}{4}{3}}-\sqrt[3]{a^2b^2}+b^{\genfrac{}{}{}{}{4}{3}}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$ .

Решение

Во всех пунктах вводим обозначения , (, ). Тогда по свойству степени , , , , , .

Числитель первой дроби: (вынесли общий множитель). Тогда

Умножаем на : . Возводим в куб:
Первая дробь: . Числитель второй дроби: . Вторая дробь:

Перемножаем:
Первая дробь: . Во второй дроби знаменатель , а числитель . Поэтому вторая дробь равна . Произведение
Первая дробь: числитель , поэтому

Вторая дробь: . Перемножаем, сокращается:

(формула суммы кубов). Так как , , получаем .

💡 Почему так

Замена , сводит выражения к многочленам от и ; дальше применяются вынесение множителя, разность квадратов, сумма и разность кубов.

Ответ

Помогло?

Номер 115 ГДЗ Алгебра 10–11 класс, Алимов 2023, страница 38