ГДЗ Алгебра 10-11 класс Алимов, номер 114

№

Упрощение выражений с корнями

Упростить выражение:

$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}}-\frac{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}$ ;
$\frac{x-y}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}-\frac{x+y}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$ ;
$\frac{\sqrt{x}-\sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{y}}+\sqrt[3]{y}$ ;
$\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}-1$ .

Решение

Во всех пунктах переходим к новым обозначениям, чтобы корни стали степенями одной буквы, и раскладываем числители на множители. Считаем, что , (под корнями чётных степеней неотрицательные числа, знаменатели не равны нулю).

Пусть , . Тогда , , .
Первая дробь: числитель (разность квадратов), поэтому

Вторая дробь: числитель , поэтому

Разность: .
Пусть , , тогда , .
Первая дробь: по формуле разности кубов , поэтому

Вторая дробь: по формуле суммы кубов , поэтому

Разность: .
Пусть , . Тогда , . Числитель , значит

Прибавляем : .
Пусть , ; тогда , , , .
Числитель: .
Знаменатель: .
Сокращаем на (при ):

Возвращаемся к и : , , получаем .

💡 Почему так

Замена превращает корни в многочлены, где работают формулы разности квадратов, суммы и разности кубов.

Ответ

;
;
;
.

Помогло?

Номер 114 ГДЗ Алгебра 10–11 класс, Алимов 2023, страница 38