ГДЗ по алгебре 10-11 класс Алимов, номер 112

№

Освобождение от иррациональности в знаменателе

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

$\frac{2}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ ;
$\frac{\sqrt{5}}{5+\sqrt{10}}$ ;
$\frac{3}{\sqrt[3]{4}}$ ;
$\frac{2}{\sqrt[4]{27}}$ ;
$\frac{3}{\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2}}$ ;
$\frac{11}{\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}}$ ;
$\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ ;
$\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}$ .

Решение

Чтобы убрать корень из знаменателя, умножаем числитель и знаменатель на такое выражение, чтобы в знаменателе получилась формула сокращённого умножения без корней: , , . Величина дроби при этом не меняется.

Умножаем на сопряжённое выражение и применяем формулу разности квадратов:
Умножаем на :

Здесь . Сокращаем на :
Так как , умножаем числитель и знаменатель на :
. Чтобы под корнем получить , умножаем на :
Знаменатель . Умножаем на :

Корни ещё остались, поэтому умножаем ещё на :

Значит, умножаем числитель и знаменатель на :
Пусть , . Знаменатель равен ; умножаем на неполный квадрат разности . По формуле суммы кубов :
Сначала группируем и умножаем на (разность квадратов):

Тогда

Остался корень в знаменателе; умножаем числитель и знаменатель на :
Пусть , . Тогда , , , и знаменатель — неполный квадрат суммы . Умножаем на ; по формуле разности кубов :

💡 Почему так

Для каждого вида знаменателя выбираем свою формулу: разность квадратов — для , сумма и разность кубов — для кубических корней, а для корня -й степени формулу применяем дважды.

Ответ

;
;
;
;
;
;
;
.

Помогло?

Номер 112