Номер 3.137

Поле доски — квадрат из рядов по клеток, окрашенных попеременно. Если отразить его относительно вертикальной прямой через середину, первая клетка ряда перейдёт в восьмую. При чётном числе клеток их цвета разные, поэтому вертикальная прямая не будет осью симметрии окрашенной доски. Так же не подходит горизонтальная прямая.

Проведём обе диагонали квадрата. Отражение относительно каждой диагонали переставляет клетку с клеткой того же цвета: при перестановке номера строки и столбца их сумма не меняется. Следовательно, диагонали — оси симметрии.

Точка пересечения диагоналей — центр квадрата. При повороте доски на пол-оборота каждая клетка переходит в клетку того же цвета, потому что оба её номера заменяются на противоположные. Значит, это центр симметрии.

Вывод: у окрашенного поля две оси и один центр симметрии.