В круговой сектор, радиус которого равен R, а центральный угол составляет 60∘, вписан круг. Найдите площадь этого круга.
Дано: сектор с центром
Найти: площадь вписанного круга.
Решение.
-
Круг касается сторон угла
, поэтому его центр равноудалён от сторон угла и лежит на биссектрисе угла . Значит, . -
Проведём радиус
в точку касания с . Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому , . В прямоугольном треугольнике угол равен , а катет против угла вдвое меньше гипотенузы:
-
Круг касается дуги сектора изнутри, значит, точка касания лежит на прямой
(линия центров), и расстояние от до этой точки равно . Следовательно, , откуда . -
Площадь круга:
Вывод: площадь вписанного круга равна
