Отрезок AB разбили на n отрезков. На каждом из них как на диаметре построили полуокружность. Это действие повторили, разбив данный отрезок на m отрезков. Найдите отношение сумм длин полуокружностей, полученных в первом и втором случаях.
Дано: отрезок
Найти: отношение суммы длин полуокружностей в первом случае к сумме во втором.
Решение.
-
Длина окружности диаметра
равна (формула , где ). Значит, длина полуокружности, построенной на отрезке длиной как на диаметре, равна . -
Первый случай. Сумма длин всех
полуокружностей:
-
Части составляют весь отрезок
(они лежат на нём одна за другой без наложений и промежутков), поэтому . Значит, сумма длин полуокружностей равна . -
Второй случай. Точно так же сумма длин
полуокружностей равна . -
Обе суммы равны
, поэтому их отношение
Вывод: сумма длин полуокружностей не зависит от числа частей, на которые разбит отрезок, и отношение равно
