Номер 748

Дано: тетраэдр .

Доказать пересечение медиан.

Обозначим радиус-векторы вершин $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$.

По формуле центра тяжести треугольника центр грани имеет радиус-вектор ${\stackrel{⃗}{}}_{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$.

Рассмотрим точку с радиус-вектором $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$.

Тогда $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\frac{}{}{\stackrel{⃗}{}}_{}\stackrel{⃗}{}$.

Значит, лежит на медиане и по формуле деления отрезка.

Точно такое же вычисление с любой другой вершиной даёт $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\frac{}{}{\stackrel{⃗}{}}_{}\stackrel{⃗}{}$ и аналогично для .

Следовательно, все четыре медианы проходят через одну точку и делятся ею в требуемом отношении.